Question

【題目】央視《加油向未來》節目組曾經做過一個實驗，如圖1所示，高為h的分別是由銅、鋁和不銹鋼做成的三個豎直軌道A、B、C垂直立在水平地面上，軌道的形狀、橫截面積都相同，所用金屬的相關參數如下表。節目組讓3個相同的內部都固定了相同強磁體的木制小車分別從A、B、C三個軌道上端同時由靜止釋放，小車運動時不與軌道發生摩擦，空氣阻力忽略不計。3個相同的小車及固定磁鐵的總質量均為m。

(1)請在如圖2的坐標系中畫出小車由靜止釋放沿A軌道運動直到落地的v—t圖像；

(2)請根據題目信息判斷沿哪個軌道運動的小車最先到達地面，并定性說明理由；

(3)假如A軌道的小車最后穩定下落的速度為v0，求該小車達到穩定速度后銅軌道的熱功率P0；

(4)軌道之所以發熱是因為金屬有電阻。經典物理學認為：金屬的電阻源于定向運動的自由電子和金屬離子（即金屬原子失去電子后剩余的那部分）的碰撞。在外加電場下自由電子做定向移動的過程中要不斷與金屬離子發生碰撞，將其動能全都交給金屬離子，然后在電場的作用下重新開始加速運動一段距離后，再與金屬離子發生碰撞。經加速運動電子在兩次碰撞之間走的平均距離叫自由程，用L表示。某金屬單位體積內自由電子數為n，電子的質量為m，電子的電荷量為e。電子在該金屬一個自由程的運動時間為t。

a．假設電子每段自由程中都沿電流方向做勻加速直線運動，求該金屬的電阻率；

b．如果在考慮大量電子的統計效果時，不考慮每個電子斷斷續續地碰撞，而著眼于實際運動的平均結果，可等效為電子在金屬中勻速直線運動，而金屬給電子以持續的摩擦阻力，該摩擦阻力的大小與電子平均速度成正比，求其摩擦因數為k。

金屬	溫度（°C）	密度（）	電阻率（）	硬度 （金剛石硬度為10）
銅	20	8．9	1．7	2．8
鋁	20	2．7	2．9	2．6
不銹鋼	20	7．8	10．0	4．6

Answer 1

【答案】(1)；(2)見解析；(3)；(4)a.；b.

【解析】

(1)如圖所示

(2)沿C（不銹鋼）軌道的小車最先到達地面。強磁鐵相對金屬導體運動，由電磁感應定律和楞次定律可知，在金屬中要產生感應電流（渦流），該感應電流將對強磁鐵的小車產生阻力作用，小車將克服該阻力將部分機械能轉化為電能。由于三輛小車最初的機械能相同，而這三種金屬中銅的電阻率最小，在相同條件下銅軌道的電阻也最小，感應電流最大，阻礙最強，機械能轉化為電能的功率最大，將最晚落到地面；而不銹鋼軌道的電阻率最大，其感應電流最小，阻礙最弱，機械能轉化為電能的功率最小，將最先落到地面。

(3)小車穩定（勻速）下落過程中，可認為減少的重力勢能全部轉化為銅軌道的熱能，即

變形可得

(4)金屬中電子定向移動的平均速度為

電流強度的微觀表達式為

電子在自由程內加速，由動能定理

電子勻加速直線運動，則有

由歐姆定律可得

由電阻定律可得

聯立解得

設自由程內總得電荷數為N，電場力做功功率等于克服阻力做功的功率，即

由題意可知

聯立解得