Question

（2008?和平區模擬）如圖所示，在真空區域內，有寬度為L的勻強磁場，磁感應強度為B，磁場方向垂贏紙面向里，MN、PQ是磁場的邊界．質量為m，帶電量為-q的粒子，先后兩次沿著與MN夾角為θ（0＜θ＜90°）的方向垂直磁感線射入勻強磁場B中，第一次，：粒子是經電壓U₁加速后射入磁場，粒子剛好沒能從PQ邊界射出磁場．第二次粒子是經電壓U₂加速后射入磁場，粒子則剛好垂直PQ射出磁場．不計重力的影響，粒子加速前速度認為是零，求：
（1）為使粒子經電壓U₂加速射入磁場后沿直線運動，直至射出PQ邊界，可在磁場區域加一勻強電場，求該電場的場強大小和方向．
（2）加速電壓

U1

U2

的值．

Answer 1

分析：畫出粒子在磁場中運動的軌跡，由幾何知識求出軌跡的半徑．帶電粒子在磁場中由洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律求出速度．
（1）根據洛倫茲力與電場力平衡求出電場的場強大小和方向．
（2）再根據動能定理研究粒子在電場中加速過程，即可求出加速電壓及加速電壓之比．

解答：解：（1）經電壓U₁加速后粒子射入磁場后剛好不能從PQ邊界射出磁場，表明在磁場中做勻速圓周運動的軌跡與PQ邊界相切，要確定粒子做勻速圓周運動的圓心O的位置，如圖甲所示，圓半徑R₁與L的關系式為：L=R₁+R₁cosθ，R₁=

L

1+cosθ

．
又 qv₁B=m

v12

R

，解得v₁=

qBL

m(1+cosθ)

．
經電壓U₂加速后以速度v₂射入磁場，粒子剛好垂直PQ射出磁場，可確定粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在PQ邊界線的O點，如圖乙所示，半徑R₂與磁場寬L的關系式為 R₂=

L

cosθ

．
又qv₂B=m

v22

R

．
解得v₂=

qBL

mcosθ

．
為使粒子經電壓U₂加速射入磁場后沿直線運動，直至射出PQ邊界，則所受的洛倫茲力和電場力平衡，
則qv₂B=qE
則E=v₂B=

qB2L

mcosθ

．方向垂直速度方向向下．
（2）在加速電場中，根據動能定理得：
qU1=

1

2

mv12
qU2=

1

2

mv22
所以

U1

U2

=

v12

v22

=

cos2θ

(1+cosθ)2

．
答：（1）電場強度的大小為

qB2L

mcosθ

．
（2）加速電壓

U1

U2

的值

cos2θ

(1+cosθ)2

．

點評：題中帶電粒子先加速后在磁場中偏轉，電場中運用動能定理求解速度，在磁場中畫軌跡，由幾何知識求出半徑，都是必須掌握的常用方法．