Question

（2010?徐州三模）2009年12月24日，美國的一個研究小組宣布，他們在蛇夫星座中發現一顆富含水份的行星“GJl214b”．“GJl214b”距離地球約40光年，體積約為地球的2.7倍，質量約是地球的6.5倍，環繞著一顆比太陽小且溫度低的紅矮星運行，軌道半徑為209萬公里，公轉周期為38小時．已知地球半徑為6400km，地球表面的重力加速度為9.8m/s²，引力常量G為6.67×10^-11N?m²?kg^-2．由以上信息可估算出（　　）

A．紅矮星的質量

B．紅矮星的密度

C．“GJl214b”行星的質量

D．“GJl214b”行星的密度

Answer 1

分析：（1）據已知先從行星繞紅矮星公轉入手，通過萬有引力充當向心力和圓周運動學公式可尋求紅矮星質量和已知常量的關系可計算相關要素；
（2）據地球表面萬有引力充當重力可估算出地球的體積和質量，進而通過已知求出該行星的質量和密度．

解答：解：設紅矮星的質量為M，體積為S₁；地球的質量為m，體積為S，半徑為r=6400km，表面重力加速度為g=9.8m/s²；則“GJl214b”行星的質量為6.5m，體積為2.7S，繞紅矮星軌道半徑為R=209萬公里，向心力為F，公轉速度為V，公轉周期為T=38小時；
   （1）據“GJl214b”行星的公轉運動和萬有引力充當向心力，
    可得    F=G

6.5mM

R2

=6.5m

V2

R

                           ①
   另據公轉速度   V=

2πR

T

                                   ②
   把②代入①可得紅矮星的質量   M=

4πR3

GT2

     （其中R、T、G均為常量，直接代入數字即可估算出紅矮星的質量）    ③
   紅矮星的密度=

M

S1

=

4πR3

GT2S1

            （其中S₁為未知量，無法估算出紅矮星的密度）                            ④
  （2）設地球表面一物體質量為m₁，
   據萬有引力充當重力得  m1g=G

mm1

r2

    轉換得 m=

gr2

G

                        ⑤
   地球的體積      S=

4πr3

3

                                                      ⑥
   則“GJl214b”行星的質量=6.5m=

6.5gr2

G

  （直接代入即可估算出行星的質量）      ⑦
“GJl214b”行星的體積=2.7S=

2.7×4πr3

3

（為常量，代入即可估算體積）           ⑧
   由③⑦⑧可知選項 ACD正確，由④可知選項 B錯誤
故選 ACD．

點評：題目并不難，唯一的就是變量和常量太多容易混淆．以后遇到此種題目，注意對運動情景拆解成較為簡單的分情景，分別分析，一般就比較簡單了．