Question

【題目】如圖所示，真空中有一個半徑r=0.5m的圓形磁場區域，與坐標原點O相切，磁場的磁感應強度大小B=2×10－4T，方向垂直于紙面向外，在x=1m處的豎直線的右側有一水平放置的正對平行金屬板M、N，板間距離為d=0.5 m，板長L=1m，平行板的中線的延長線恰好過磁場圓的圓心O1。若在O點處有一粒子源，能向磁場中不同方向源源不斷的均勻發射出速率相同的比荷為=1×108C/kg，且帶正電的粒子，粒子的運動軌跡在紙面內，一個速度方向沿y軸正方向射入磁場的粒子，恰能從沿直線O2O3方向射入平行板間。不計重力及阻力和粒子間的相互作用力，求：

（1）沿y軸正方向射入的粒子進入平行板間時的速度v和粒子在磁場中的運動時間t0；

（2）從M、N板左端射入平行板間的粒子數與從O點射入磁場的粒子數之比；

（3）若在平行板的左端裝上一擋板（圖中未畫出，擋板正中間有一小孔，恰能讓單個粒子通過），并且在兩板間加上如圖示電壓（周期T0），N板比M板電勢高時電壓值為正，在x軸上沿x軸方向安裝有一足夠長的熒光屏（圖中未畫出），求熒光屏上亮線的左端點的坐標和亮線的長度l。

Answer 1

【答案】（1）1×104 m/s，7.85×10－5 s；（2）；（3）（m，0），亮線長為m。

【解析】

（1）由題意可知，沿y軸正向射入的粒子運動軌跡如圖示

則粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌道半徑必定為

R=r=0.5m

根據洛倫茲力提供向心力有

Bqv=

代入數據解得粒子進入電場時的速度為

v=1×104m/s

在磁場中運動的時間為

t0=T==7.85×10－5 s

（2）如圖示沿某一方向入射的粒子的運動圓軌跡和磁場圓的交點O、P以及兩圓的圓心O1、O4組成菱形，故PO4和y軸平行，所以v和x軸平行向右，即所有粒子平行向右出射。故恰能從M端射入平行板間的粒子的運動軌跡如圖所示

因為M板的延長線過O1O的中點，故由圖示幾何關系可知，則入射速度與y軸間的夾角為

同理可得恰能從N端射入平行板間的粒子其速度與y軸間的夾角也為，如圖所示

由圖示可知，在y軸正向夾角左右都為的范圍內的粒子都能射入平行板間，故從M、N板左端射入平行板間的粒子數與從O點射入磁場的粒子數之比為

（3）根據U-t圖可知，粒子進入板間后沿y軸方向的加速度大小為

所有粒子在平行板間運動的時間為

即粒子在平行板間運行的時間等于電場變化的周期T0，則當粒子由t=nT0時刻進入平行板間時，向下側移最大，則有

y1=＋a－=0.175m

當粒子由t=nT0＋時刻進入平行板間時，向上側移最大，則

y2==0.025m

因為y1、y2都小于=0.25m，故所有射入平行板間的粒子都能從平行板間射出，根據動量定理可得所有出射粒子的在y軸負方向的速度為

解得

vy=1.5×103 m/s

設速度vy方向與v的夾角為θ，則

tanθ=

如圖所示

從平行板間出射的粒子處于圖示范圍之內，則

tan θ=

tan θ=

代入數據解得

，

亮線左端點距離坐標原點的距離為

x左=

即亮線左端點的位置坐標為（m，0），亮線長為m