Question

（20分）如圖13所示，一個物塊A（可看成質點）放在足夠長的平板小車B的右端，A、B一起以v₀的水平初速度沿光滑水平面向左滑行。左邊有一固定的豎直墻壁，小車B與墻壁相碰，碰撞時間極短，且碰撞前、后無動能損失。已知物塊A與小車B的水平上表面間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g。

（1）若A、B的質量均為m，求小車與墻壁碰撞后的運動過程中，物塊A所受摩擦力的沖量大小和方向；

（2）若A、B的質量比為k，且k＜1，求物塊A在小車B上發生相對運動的過程中物塊A對地的位移大小；

（3）若A、B的質量比為k，且k=2，求小車第一次與墻壁碰撞后的運動過程所經歷的總時間。

Answer 1

（20分）

解：（1）設小車B與墻碰撞后物塊A與小車B所達到的共同速度大小為v，設向右為正方向，則由動量守恒定律得            mv₀-mv₀=2mv

解得                                v=0                                 （2分）

對物塊A，由動量定理得摩擦力對物塊A的沖量   I=0-（-mv₀）=mv₀            （2分）

沖量方向水平向右。                                                      （1分）

（2）設A和B的質量分別為km和m，小車B與墻碰撞后物塊A與小車B所達到的共同速度大小為v′，木塊A的位移大小為s。設向右為正方向，則由動量守恒定律得：則

                               mv₀-kmv₀=(m+km)v′                         （2分）

解得                        v′=                                 （1分）

對木塊A由動能定理                       （2分）

代入數據解得                                      （2分）

（3）當k=2時，根據題意由于摩擦的存在，經B與墻壁多次碰撞后最終A、B一起停在墻角。A與B發生相對運動的時間t₀可等效為A一直做勻減速運動到速度等于0的時間，在A與B發生相對滑動的整個過程，對A應用動量定理：      （2分）

解得時間                                                        （1分）

設第1次碰后A、B達到的共同速度為v₁，B碰墻后，A、B組成的系統，沒有外力作用，水平方向動量守恒，設水平向右為正方向，由動量守恒定律，得

mv₀－2mv₀=（2m+m）v₁

即                   （負號表示v₁的方向向左）

第1次碰后小車B向左勻速運動的位移等于向右勻減速運動到速度大小為v₁這段運動的位移s₁

對小車B，由動能定理得      -μ2mgs₁=mv₁²-mv₀²

解得                         s₁=  

第1次碰后小車B向左勻速運動時間                      （2分）

設第2次碰后共速為v₂，由動量守恒定律，得

mv₁－2mv₁=（2m+m）v₂

即                         

第2次碰后小車B向左勻速運動的位移等于向右勻減速運動到速度大小為v₂這段運動的位移s₂

對小車B，由動能定理得       -μ2mgs₂=m v₂²-mv₁²

解得                          s₂=  

第2次碰后小車B向左勻速運動時間

同理，設第3次碰后共速為v₃，碰后小車B向左勻速運動的位移為s₃，則由動量守恒定律，得

  

                            s₃=

第3次碰后小車B向左勻速運動時間 

由此類推，第n次碰墻后小車B向左勻速運動時間。

第1次碰墻后小車B向左勻速運動時間即B從第一次撞墻后每次向左勻速運動時間為首項為t₁，末項為t_n，公比為的無窮等比數列。即B從第一次與墻壁碰撞后勻速運動的總時間

                                         （2分）

所以，從第一次B與墻壁碰撞后運動的總時間             （1分）