Question

如圖所示，在光滑絕緣的水平臺面上，存在平行于水平面向右的勻強電場，電場強度為E．水平臺面上放置兩個靜止的小球A和B（均可看作質點），兩小球質量均為m，A球帶電荷量為+Q，B球不帶電，A、B連線與電場線平行．開始時兩球相距L，在電場力作用下，A球開始運動（此時為計時零點，即t=0），后與B球發生對心碰撞，碰撞過程中A、B兩球總動能無損失，設在各次碰撞過程中，A、B兩球間無電量轉移，且不考慮兩球碰撞時間及兩球間的萬有引力，試求：
（1）第一次碰撞結束瞬間A、B兩球的速度各為多大？
（2）從計時零點到即將發生第三次碰撞時所經歷的總時間為多少？
（3）若要求A在運動過程中對桌面始終無壓力且剛好不離開水平桌面（v=0時刻除外），可以在水平面內加一與電場正交的磁場．請寫出磁場B_（t）與時間t的函數關系．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據牛頓第二定律求出A球的加速度，由速度位移公式求出A球與B球碰撞前的速度．由于碰撞過程中A、B兩球總動能無損失，交換速度．
（2）根據速度公式求出第一次碰撞時間．第一次碰后，A球追及B球，當位移相等時，發生第二碰撞，由位移相等求出第二次碰撞時間．同理求解第三次碰撞時間．
（3）要求A在運動過程中對桌面始終無壓力且剛好不離開水平桌面，洛倫茲力與重力平衡．采用歸納法分別分析從計時零點到即將發生第1次碰撞這段過程、第1次碰撞到即將發生第2次碰撞這段過程、從第2次碰撞到即將發生第3次碰撞這段過程…由A球豎直方向力平衡得到B_（t）與時間t的關系式，總結出規律，再求磁場B_（t）與時間t的函數關系．
解答：解：（1）A球的加速度為a=
碰前A的速度為v_A1==，碰前B的速度為v_B1=0由于碰撞過程中A、B兩球總動能無損失，交換速度，則碰撞后A、B的速度分別
v_A1′=0，v_B1′=v_A1=．
（2）A、B球發生第一次、第二次、第三次的碰撞時間分別為t₁、t₂、t₃．
則t₁==
第一次碰后，經t₂-t₁時間A、B兩球發生第二次碰撞，設碰前瞬間A、B兩球速度為v_A2和v_B2，則有
v_B1′（t₂-t₁）=a（t₂-t₁）²
解得，t₂=3t₁
v_A2=a（t₂-t₁）=2at₁=2v_A1=2．
v_B2=v_B1′=．
第二次碰后瞬間，A、B兩球速度分別為
v_A2′和v_B2′，經t₃-t₂時間A、B兩球發生碰撞，并設碰撞前瞬間A、B兩球速度分別v_A3和v_B3
則v_A2′=v_B2=．
v_B2′=v_A2=2．
當v_B2′（t₃-t₂）=v_A2′（t₃-t₂）+a（t₃-t₂）²發生第三次碰撞
解得，t₃-t₂=t₂-t₁，t₃=5．
（3）對A球，要求A在運動過程中對桌面始終無壓力且剛好不離開水平桌面，洛倫茲力與重力恰好平衡，得
   BQv_A=mg，得B=，A球的加速度為 a=
則從A球開始運動到發生第1次碰撞這段過程中，
   B（t）=  0＜t≤
從第1次碰撞到發生第2次碰撞這段過程中，
   B（t）=  ≤t≤3
從第2次碰撞到發生第3次碰撞這段過程中，
   B（t）=   3≤t≤5
從第3次碰撞到發生第4次碰撞這段過程中，
 B（t）=   5≤t≤7
   …
以此類推，從第n次碰撞到發生第n+1次碰撞這段過程中，
  B（t）=  （2n-1）≤t≤（2n+1）  （n=1，2，3，…）
答：
（1）第一次碰撞結束瞬間A、B兩球的速度各為0和．
（2）從計時零點到即將發生第三次碰撞時所經歷的總時間為5．
（3）磁場B（t）與時間t的函數關系是 B（t）= （2n-1）≤t≤（2n+1） （n=1，2，3，…）．
點評：本題是小球周期性運動問題，關鍵要采用歸納法總結規律，運用數學方法求解．