Question

如圖，在xOy平面內，第I象限中有勻強電場，場強大小為E，方向沿y軸正方向．在x軸的下方有勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，電、磁場區域足夠大．今有一個質量為m、電荷量為e的電子（不計重力），從y軸上的P點以初速度v₀垂直于電場方向進入電場，經電場偏轉后，沿著x軸正方向成45°角進入磁場，并能返回到原出發點P． 求：
（1）P點離坐標原點的距離h；
（2）電子從P點出發經多長時間第一次返回P點？

Answer 1

分析：（1）電子在電場中做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運動．在A點電子的速度與x軸成45°角，則知電子經過A點的速度為v．根據動能定理研究電子從P到A的過程，可求出h．
（2）分三段研究電子運動的時間：1、電子在電場中，由豎直方向的分速度v_y=v₀=at₁，而a=

eE

m

，可以求出時間t₁．2、電子在磁場中，畫出軌跡，由幾何知識確定出軌跡對應的圓心角θ，在由洛倫茲力充當向心力求出速度，進而解得T，可求出時間t₂.3、電子從D到P做勻速運動，可以求出t₃，即可求出總時間

解答：解：
（1）帶電粒子進入磁場時速度為：v
  v=

v0

sin45°

=

2

v0
由動能定理：
eEh=

1

2

mv2-

1

2

mv02
解得：
h=

mv02

2eE

（2）帶點粒子運動軌跡如圖：
，
電子從P到A的過程，加速度為a=

eE

m

，此過程時間為t₁：
t1=

v

a

=

v0

a

=

mv0

eE

電子在磁場中運動時間為t₂，粒子在磁場做

3

4

的圓周運動，其周期為T
從A到C再到D，由洛侖茲力提供向心力，
evB=m

v2

R

解得：R=

mv

eB

又：
T=

2πR

v

=

2πm

eB

故：
t2=

3

4

×

2πm

eB

=

3πm

2eB

電子離開磁場到達P點時間為t₃    
 t3=

2 h

v

=

2 × mv02 2eE

2 v0

=

mv0

2Ee

故電子從P點出發第一次回到P點所用時間：t=t₁+t₂+t₃=

3mv0

2eE

+

3πm

2eB

答：
（1）P點離坐標原點的距離h=

mv02

2eE

（2）電子從P點出發經

3mv0

2eE

+

3πm

2eB

第一次返回P點

點評：電子在電場中做類平拋運動的研究方法是運動的分解，而磁場中圓周運動的研究方法是畫軌跡，都是常用的思路，難度不大．