Question

如圖所示，光滑曲面AB與水平面BC平滑連接于B點，BC右端連接內壁光滑、半徑為r的細圓管CD，管口D端正下方直立一根勁度系數為k的輕彈簧，輕彈簧下端固定，上端恰好與管口D端齊平。質量為m的小球在曲面上距BC的高度為2r處從靜止開始下滑，進入管口C端時與管壁間恰好無作用力，通過CD后壓縮彈簧，在壓縮彈簧過程中速度最大時彈簧的彈性勢能為E_P，已知小球與BC間的動摩擦因數μ=0.5。求：

（1）小球達到B點時的速度大小v_B；

（2）水平面BC的長度s；

（3）在壓縮彈簧過程中小球的最大速度v_m 。

Answer 1

（1）由機械能守恒得

mg2r=mv_B²                                                                          

解得v_B=2                                        

（2）由mg=m                                                  

得v_C=                                           

由動能定理得

mg2r－μmgs=mv_C²                                                         

解得s=3r                                                    

（3）設在壓縮彈簧過程中小球速度最大時離D端的距離為x，則有

kx=mg                                 

得x=                                                     

由功能關系得 mg(r+x) -E_P = mv_m²-mv_C²                    

得  v_m=