Question

勻強電場的方向沿x軸正向，電場強度E隨x的分布如圖所示．圖中E₀和d均為已知量，將帶正電的質點A在O點由能止釋放，A離開電場足夠遠后，再將另一帶正電的質點B放在O點也由靜止釋放，當B在電場中運動時，A、B間的相互作用力及相互作用能均為零；B離開電場后，A、B間的相作用視為靜電作用，已知A的電荷量為Q，A和B的質量分別為m和

m

4

，不計重力．
（1）求A在電場中的運動時間t；
（2）若B的電荷量q=

4

9

Q，求兩質點相互作用能的最大值E_Pm；
（3）為使B離開電場后不改變運動方向，求B所帶電荷量的最大值q_m．

Answer 1

分析：（1）A在電場中時，在電場力作用下做勻加速直線運動，根據牛頓第二定律求得加速度，由運動學位移公式求解運動時間t；
（2）分析A、B的運動情況：A、B相互作用的過程中，A、B間相互作用力為斥力，A受力方向與其運動方向相同做加速運動，B受力方向與其運動方向相反做減速，當兩者速度相同，最接近時，相互作用能最大，根據動量守恒和能量守恒，列式求解相互作用能的最大值E_Pm；
（3）研究A、B在x＞d區間的運動過程，根據系統的動量守恒和能量守恒，列式，得到B的速度v_B表達式，B不改變運動方向，v_B≥0，即可求出B所帶電荷量的最大值q_m．

解答：解：（1）由牛頓第二定律，A在電場中運動的加速a=

f

m

=

QE0

m

   A在電場中做勻變速直線運動   d=

1

2

at²
解得運動時間t=

2d a

=

2dm QE 0

 
（2）設A．B離開電場的速度分別為v_A0、v_B0，由動能定理，有
     QE_Od=

1

2

m

v

2 A0

，qE₀d=

1

2

?

m

4

?

v

2 B0

  ①
A、B相互作用的過程中，動量和能量均守恒，A、B間相互作用力為斥力，A受力方向與其運動方向相同，B受力方向與其運動方向相反，相互作用力A做正功，對B做負功．在AB靠近的過程中，B的路程大于A的路程，由于作用力大小相等，作用力對B做功的絕對值大于對A做功的絕對值，因此相互作用力做功之和為負，相互作用能增加，所以當A、B最接近時，相互作用能最大，因此兩者速度相同，設v′，有
   （m+

m

4

）v′=mv_A0+

m

4

vB0   ②
E_pm=（

1

2

m

v

2 A0

+

1

2

?

m

4

?

v

2 B0

）-

1

2

（m+

m

4

）v^′2 ③
又已知 q=

4

9

Q，由①②③解得  相互作用能的最大值為 E_pm=

1

45

QE0d
（3）考慮A、B在x＞d區間的運動，由動量守恒、能量守恒，且在初態和末態均無相互作用，有
  mv_A+

m

4

vB=mv_A0+

m

4

vB0  ④
 

1

2

m

v

2 A

+

1

2

?

m

4

?

v

2 B

=

1

2

m

v

2 A0

+

1

2

?

m

4

?

v

2 B0

   ⑤
由④⑤解得  v_B=-

3

5

vB0+

8

5

vA0
因B不改變運動方向，故v_B≥0  ⑥
由①⑥解得  q≤

16

9

Q
即B所帶電荷量的最大值為 Q_m=

16

9

Q
答：（1）求A在電場中的運動時間t是

2dm QE 0

；
（2）若B的電荷量q=

4

9

Q，兩質點相互作用能的最大值E_Pm是

1

45

QE0d．
（3）為使B離開電場后不改變運動方向，B所帶電荷量的最大值q_m是

16

9

Q．

點評：本題關鍵要分析兩質點的運動情況，把握每個過程的運動規律，此題類似于彈性碰撞過程，在相互作用過程中，遵守兩大守恒：動量守恒和能量守恒，當兩者速度相等時，相互作用能達到最大．