Question

（2012?通州區模擬）天體的質量大都是“天文數字”，是無法進行稱量的．但是物理學家依據物理規律，用一支筆、一張紙就可以計算出遙遠而巨大的天體質量，你不覺得物理很神奇嗎？現在給出以下數據：

萬有引力常量G

地球的半徑R，地球表面的重力加速度g，地球的自轉周期T0

第一宇宙速度v

地球同步衛星，距離地面的高度為H

繞地球做勻速圓周運動的人造地球衛星，到地球表面的高度為h1，運行周期為T1

月球到地面的距離h2，月球的公轉周期T2

地心到太陽中心的距離r，地球的公轉周期T

請你在以上所給的已知數據中，任意選擇合適的數據，建立恰當的物理模型，用你手中的筆和紙，計算出地球的質量，寫出地球質量的表達式．
要求至少寫出兩種方法．

Answer 1

分析：這是一個開放性試題，根據題中所給條件，有多種方法可以計算出地球質量．一類方法是利用地球表面重力等于萬有引力；第二類方法是衛星的萬有引力提供向心力．

解答：解：方法一：利用地球半徑R和地球表面的重力加速度g計算．設地球質量為M，不考慮地球自轉時，地面上物體所受重力就是萬有引力：mg=G

mM

R2

，則：M=

gR2

G

；
方法二：利用第一宇宙速度v和地球的半徑R計算．人造地球衛星環繞地球表面運行時，軌道半徑是R，向心力是萬有引力：G

mM

R2

=m

v2

R

，則：M=

Rv2

G

；
方法三：利用繞地球做勻速圓周運動的人造地球衛星計算．衛星到地球表面的高度為h₁，運行周期為T₁；人造地球衛星繞地球運行時，向心力是萬有引力：G

mM

(R+h1)2

=m(

2π

T 2 1

)2(R+h1)，則：M=

4π2(R+h1)3

GT12

；
方法四：利用地球同步衛星．同步衛星距離地面的高度為H，運行周期與地球的自轉周期T₀相同，同步衛星繞地球做圓周運動向心力是萬有引力：G

mM

(R+H)2

=m(

2π

T 2 0

)2(R+H)，則：M=

4π2(R+H)3

GT02

；
方法五：利用月球計算．月球到地面的距離h₂，月球的公轉周期T₂；月球繞地球做圓周運動向心力是萬有引力：G

mM

(R+h2)2

=m(

2π

T 2 2

)2(R+h2)，則：M=

4π2(R+h2)3

GT22

；
答：方法如上．

點評：本題關鍵明確衛星的萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求解即可；也可以利用重力加速度的表達式進行測量．