Question

【題目】如圖所示，半徑為R的光滑半圓軌道AB豎直固定在一水平光滑的桌面上，軌道最低點B與桌面相切并平滑連接，桌面距水平地面的高度也為R。在桌面上輕質彈簧被a、b兩個小球擠壓（小球與彈簧不拴接），處于靜止狀態。已知a球的質量為m0，a、b兩球質量比為2∶3。固定小球b，釋放小球a，a球與彈簧分離后經過B點滑上半圓環軌道并恰能通過軌道最高點A。現保持彈簧形變量不變同時釋放a、b兩球，重力加速度取g，求：

（1）完全彈開時a、b的速度va、vb；

（2）球在半圓軌道上上升的最大高度H.

Answer 1

【答案】(1), (2)

【解析】

（1）設a、b兩球的質量為ma、mb，由已知得ma=m0，mb=1.5m0。a球在B點時的速度為vB，恰能通過半圓環軌道最高點A時的速度為vA，

則有

①

輕彈簧具有的彈性勢能釋放時全部轉化成小球a的機械能，a球從釋放到運動至A點過程中機械能守恒，則有

Ep=②

以a、b、彈簧為研究對象，彈開時系統動量守恒、能量守恒，a、b的速度分別為va、vb， 則有

③

④

又

⑤

由③④⑤解得

，

（2）設a球上升至最大高度時速度為0，則有

，

解得

>R，

可見a球會在某處脫離半圓軌道設脫離時a球速度為v，脫離位置半徑與豎直方向的夾角為α，如圖所示；

根據圓周運動向心力公式有

⑧

根據幾何關系有

⑨

根據機械能守恒有

⑩

解得