Question

我國的“嫦娥奔月”月球探測工程已經啟動，分“繞、落、回”三個發展階段：在2007年發射一顆繞月球飛行的衛星在2012年前后發射一顆月球軟著陸器；在2017年前后發射一顆返回式月球軟著陸器，進行首次月球樣品自動取樣并安全返回地球，設想著陸器完成了對月球表面的考察任務后，由月球表面回到圍繞月球做圓周運動的軌道艙，其過程如圖所示．設軌道艙的質量為m，月球表面的重力加速度為g，月球的半徑為R，軌道艙到月球中心的距離為r，引力常量為G，則試求：
（1）月球的質量；
（2）軌道艙的速度和周期．

Answer 1

分析：（1）著陸器在月球表面上的重力等于萬有引力，列式可得到月球的質量．
（2）軌道艙繞月球做圓周運動，由月球的萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律，列式求解速度、周期．

解答：解：（1）設月球的質量為M，著陸器的質量為m₀
著陸器在月球表面上的重力等于萬有引力：m₀g=G

Mm0

R2

解得，M=

gR2

G

．
（2）軌道艙繞月球做圓周運動，由萬有引力提供向心力，則得：
 G

Mm

r2

=m

v2

r

解得，v=

GM r

=

gR2 r

周期為 T=

2πr

v

=2πr

r GM

=2πr

r gR2

答：（1）月球的質量是

gR2

G

；（2）軌道艙的速度是

gR2 r

，周期為2πr

r gR2

．

點評：本題要建立清晰的運動模型，利用萬有引力等于重力，萬有引力等于向心力，進行求解．