Question

如圖所示，有一軸線水平且垂直紙面的固定絕緣彈性圓筒，圓筒壁光滑，筒內有沿軸線向里的勻強磁場B，O是筒的圓心，圓筒的內半徑r=0.40m．在圓筒底部有一小孔a（只能容一個粒子通過）．圓筒下方一個帶正電的粒子經電場加速后（加速電場未畫出），以v=2×10⁴m/s的速度從a孔垂直磁場B并正對著圓心O進入筒中，該帶電粒子與圓筒壁碰撞四次后恰好又從小孔a射出圓筒．已知該帶電粒子每次與筒壁發生碰撞時電量和能量都不損失，不計粒子的重力和空氣阻力，粒子的荷質比q/m=5×10⁷（C/kg），求磁感應強度B多大（結果允許含有三角函數式）？

Answer 1

分析：帶電粒子進入磁場中作勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力．由題，帶電粒子每次與筒壁發生碰撞時電量和能量都不損失，每次碰撞前后粒子速度大小不變、速度方向總是沿著圓筒半徑方向，粒子與圓筒壁4個碰撞點與小孔a恰好將圓筒壁五等分，根據對稱性，由幾何知識求出軌跡圓弧對應的圓心角，即可求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求出磁感應強度B．

解答：解：帶電粒子在磁場中作勻速圓周運動，qvB=m

v2

R

…（1）
得：B=

mv

qR

…（2）
由于帶電粒子與圓筒壁碰撞時無電量和能量損失，那么每次碰撞前后粒子速度大小不變、速度方向總是沿著圓筒半徑方向，4個碰撞點與小孔a恰好將圓筒壁五等分，粒子在圓筒內的軌跡具有對稱性，由5段相同的圓弧組成，設每段軌跡圓弧對應的圓心角為θ，則由幾何關系可得：

r

R

=tan

θ

2

解得，R=

r

tan θ 2

…（3）
有兩種情形符合題意（如圖所示）：
（1）情形1：每段軌跡圓弧對應的圓心角為θ=π-

2π

5

=

3π

5

聯立（2）（3）并代入θ值得：B=

tan 3π 10

r

?

mv

q

…（4）
將數據代入（4）式得：B=tan

3π

10

×10^-3T…（5）
（2）情形2：每段軌跡圓弧對應的圓心角為θ=π-

4π

5

 聯立（2）（3）并代入θ值及數據得：
B=

tan π 10

r

?

mv

q

=tan

π

10

×10-3T
答：磁感應強度B是tan

3π

10

×10^-3T或tan

π

10

×10-3T．

點評：本題的解題關鍵是抓住對稱性，由幾何知識得到粒子的軌跡半徑與圓筒半徑的關系，畫出粒子運動的軌跡是分析的基礎．