Question

【題目】導體切割磁感線的運動可以從不同角度來認識。如圖所示，固定于水平面的U形導線框處于豎直向下的勻強磁場中，金屬直導線MN在與其垂直的水平恒力F作用下，在導線框上以速度v做勻速運動，速度v與恒力F方向相同；導線MN始終與導線框形成閉合電路。已知磁場的磁感應強度為B，導線的長度恰好等于平行軌道的間距L。

（1）通過法拉第電磁感應定律推導證明：導線MN切割磁感線產生的電動勢E=BLv。

（2）從微觀角度看，導線MN中的自由電荷所受洛倫茲力在上述能量轉化中起著重要作用。為了方便，可認為導線MN中的自由電荷為正電荷。

a．電動勢在數值上等于非靜電力把1C的正電荷在電源內從負極移送到正極所做的功。如果移送電荷q時非靜電力所做的功為W，那么電動勢。請據此推導證明：導線MN切割磁感線產生的電動勢E=BLv。

b．導體切割磁感線時，產生的電能是通過外力克服安培力做功轉化而來的。但我們知道，洛倫茲力對運動電荷不做功。那么，導線MN中的自由電荷所受洛倫茲力是如何在能量轉化過程中起到作用的呢？請通過計算分析說明。

Answer 1

【答案】（1）（2）a．見解析b．在此過程中洛倫茲力通過兩個分力做功起到“傳遞”能量的作用

【解析】（1）在t時間內，導線MN的位移

線框的面積變化量是

則穿過閉合電路的磁通量的變化量是

根據法拉第電磁感應定律

（2）a．導線MN切割磁感線時相當于電源，由右手定則可以判斷M為正極，N為負極，所以自由電荷沿導體棒由N向M定向移動，自由電荷實際的速度方向和所受洛倫茲力的方向如圖1所示。將f沿導線方向和垂直導線方向分解為f1和f2，其中f1為非靜電力，如圖2所示。設自由電荷的電荷量為q，則，自由電荷在從N移動到M，f1做的功，所以導線MN切割磁感線產生的電動勢。

b．設自由電荷沿導線MN定向移動的速率為。在時間內，自由電荷沿導線MN定向移動的距離，垂直導線方向移動的距離。所以在這段時間內： 做正功， ； 做負功， 。因此，即導線MN中一個自由電荷所受的洛倫茲力做功為零。

做正功，宏觀上表現為“電動勢”，使電路獲得電能； 做負功，宏觀上表現為安培力做負功，阻礙導線MN運動，消耗機械能。大量自由電荷所受洛倫茲力做功的宏觀表現是將機械能轉化為等量的電能，在此過程中洛倫茲力通過兩個分力做功起到“傳遞”能量的作用。