Question

為了探測X星球，載著登陸艙的探測飛船在以星球中心為圓心，半徑為r₁的圓軌道上運動，周期為T₁，總質量為m₁．隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球更近的半徑為r₂ 的圓軌道上運動，此時登陸艙的質量為m₂，則以下結論中（　　）
①X星球的質量為M=

4π2r1

G T 2 1

          
②X星球表面的重力加速度為gr=

4π2r1

T 2 1

③登陸艙在r₁與r₂軌道上運動是的速度大小之比為：

v1

v2

=

m1r2 m2r1

④登陸艙在半徑為r₂軌道上做圓周運動的周期為T2=T1

r 3 2 r 3 1

．

A．①③正確

B．②④正確

C．①④正確

D．②③正確

Answer 1

分析：根據萬有引力提供向心力求出X星球的質量．由于X星球的半徑未知，無法求出星球表面的重力加速度．根據萬有引力提供向心力求出登陸艙在不同軌道上的線速度之比，周期之比，從而知道登陸艙在半徑為r₂軌道上做圓周運動的周期．

解答：解：①根據G

Mm1

r12

=m1r1(

2π

T1

)2得，M=

4π2r1

G T 2 1

．故①正確．
②由于X星球的半徑未知，則無法求出X星球表面的重力加速度．故②錯誤．
③根據G

Mm

r2

=m

v2

r

，得v=

GM r

，則

v1

v2

=

r2 r1

．故③錯誤．
④根據G

Mm

r2

=mr(

2π

T

)2，得T=

4π2r3 GM

，則

T1

T2

=

r13 r23

，所以T2=T1

r 3 2 r 3 1

．故④正確．故C正確．
故選C．

點評：解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力這一理論，并能熟練運用．