Question

如圖所示，兩根相距為d足夠長的光滑平行金屬導軌位于水平的xOy平面內，導軌與x軸平行，左端接有阻值為R的電阻．在x＞0的一側存在豎直向下的磁場，金屬棒質量為m，電阻為r，與金屬導軌垂直放置，且接觸良好．開始時，金屬棒位于x=0處，現給金屬棒一大小為v₀、方向沿x軸正方向的初速度，金屬棒沿導軌滑動，金屬導軌電阻可忽略不計．問：
（1）金屬棒滑行過程中安培力對金屬棒做的功和電阻R上產生的焦耳熱；
（2）若導軌間的磁場是勻強磁場，磁感應強度為B，導體棒最終在導軌上靜止時的坐標x₁；
（3）若導軌間的磁場是非勻強磁場，磁感應強度B沿x軸正方向增加，且大小滿足B²=kx，導體棒最終在導軌上靜止時的坐標x₂．

Answer 1

分析：（1）根據動能定理求出金屬棒滑行過程中安培力對金屬棒做功的大小，抓住克服安培力做功等于整個回路產生的熱量求出電阻R上產生的焦耳熱．
（2）根據切割產生的感應電動勢，結合閉合電路歐姆定律以及安培力的大小公式求出安培力的大小，根據牛頓第二定律求出加速度，結合微分的思想求出導體棒最終在導軌上靜止時滑行的距離．
（3）將B²=kx代入微分表達式，采用微分的思想求出導體棒最終在導軌上靜止時的坐標x₂．

解答：解：（1）根據動能定理得，安培力做功w=-

1

2

m

v

2 0

克服安培力做功等于整個回路產生的熱量，則Q=

1

2

m

v

2 0

 所以電阻R上產生的熱量QR=

R

r+R

Q=

Rm v 2 0

2(R+r)

．
（2）切割產生的感應電動勢E=Bdv
安培力F=IdB=

B2d2v

R+r

根據牛頓第二定律得，a=

F

m

△v=a△t
∑△v=∑

B2d2v

(R+r)m

△t=∑

B2d2

(R+r)m

△x
解得x1=

mv0(R+r)

B2d2

（3）將B²=kx代入得，∑△v=∑

B2d2v

(R+r)m

△t=∑

d2

(R+r)m

kx△x
v0=

d2

(R+r)m

∑kx△x=

d2

(R+r)m

×

1

2

k

x

2 2

解得x2=

2mv0(R+r) kd2

．
答：（1）金屬棒滑行過程中安培力對金屬棒做的功為-

1

2

mv02，電阻R上產生的熱量為

Rm v 2 0

2(R+r)

．
（2）導體棒最終在導軌上靜止時的坐標x1=

mv0(R+r)

B2d2

．
（3）導體棒最終在導軌上靜止時的坐標x2=

2mv0(R+r) kd2

．

點評：本題綜合考查了切割產生的感應電動勢、牛頓第二定律、閉合電路歐姆定律等知識，綜合性強，對數學能力的要求較高，是一道難題．