Question

如圖所示，在豎直平面內固定著光滑的1/4圓弧槽，它的末端切線水平，上端離地面H，一個質量為m的小球從上端無初速滑下，若使小球的水平射程出現最大值，則圓弧槽的半徑為多大？此情況下，小球達圓弧末端時對槽的壓力多大？

Answer 1

分析：小球在光滑的

1

4

圓弧槽上滑下過程，只有重力做功，機械能守恒，由機械能守恒定律求出小球離開圓弧槽時的速度，由平拋運動知識求出小球水平射程與半徑R的關系式，根據數學知識求解水平射程達最大值的條件．

解答：解：設圓弧半徑為R，從小球被釋放到水平拋出，設水平拋出時小球的速度為v，由機械能守恒有：
mgR=

1

2

mv2
解得：v=

2gR

從拋出到落地為平拋運動，設水平位移為x，平拋運動的時間為t，則有：
在水平方向上：x=vt
在豎直方向上：y=H-R=

1

2

gt2
聯立解得：x=2

R(H-R)

當R=H-R時，X有最大值x_m，
即：R=

H

2

時，水平射程出現最大值為x_m=H
小球達圓弧末端時，對小球受力分析，受重力和支持力，合力提供向心力，由牛頓第二定律有：
N-mg=m

v2

R

解得：N=3mg
由牛頓第三定律可得：N′=N=3mg
答：若使小球的水平射程出現最大值，則圓弧槽的半徑為

H

2

，此情況下，小球達圓弧末端時對槽的壓為3mg．

點評：本題考查應用數學知識求解物理極值的能力，這也是物理上常用的方法，往往先根據物理規律得到解析式，再由數學知識求極值．