Question

可控?zé)岷司圩兎磻?yīng)堆產(chǎn)生能雖的方式和太陽類似，因此，它被俗稱為“人造太陽”．熱核反應(yīng)的發(fā)生，需耍兒千萬度以上的高溫，因而反應(yīng)中的大量帶電粒子沒有通常意義上的容器可裝．人類正在積極探索各種約束裝置，磁約束托卡馬克裝置就是其中一種．如圖所示為該裝置的簡化模型．有一個圓環(huán)形區(qū)域，區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，已知其截面內(nèi)半徑為R₁=1.0m，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=1.0T，被約束粒子的比荷為q/m=4.0×10⁷C/kg，該帶電粒子從中空區(qū)域與磁場交界面的P點(diǎn)以速度v₀=4.0×10⁷m/s，沿環(huán)的半徑方向射入磁場（不計帶電粒子在運(yùn)動過程中的相互作叫，不計帶電粒子的重力）．
（1）為約束該粒子不穿越磁場外邊界，求磁場區(qū)域的最小外半徑R₂
（2）若改變該粒子的入射速度V，使V=

3

3

V₀，求該粒子從P點(diǎn)進(jìn)入磁場開始到第一次冋到P點(diǎn)所需耍的時間t．

Answer 1

分析：（1）粒子垂直進(jìn)入磁場中做勻速圓周運(yùn)動，當(dāng)該粒子的軌跡恰好與圓形區(qū)域外邊界相切時，磁場區(qū)域的半徑最小，根據(jù)牛頓第二定律求出粒子圓周運(yùn)動的半徑，由幾何知識求出磁場區(qū)域的最小外半徑R₂．
（2）若粒子的V=

3

3

V₀，求出粒子圓周運(yùn)動的半徑，畫出軌跡，由幾何知識求出軌跡所對的圓心角，根據(jù)圓心角求出時間．

解答：解：（1）設(shè)粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的最大半徑為R．
則qv₀B=m

v 2 0

R

得，R=

mv0

qB

=1m
如圖1，由幾何關(guān)系得，

R 2 1 +R2

=R₂-R
解得，R₂=（1+

2

）m=2.41m
（2）設(shè)粒子此時在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑為r
則r=

mv

qB

=

3 mv0

3qB

=

3

3

m
如圖2所示，由幾何關(guān)系得，θ=arctan

3

3

=30°，則∠POP′=60°
所以帶電粒子進(jìn)入磁場繞圓O′轉(zhuǎn)過的角度為360°-（180°-60°）=240°，又回到中空部分，粒子的運(yùn)動軌跡如圖所示．
故粒子從P點(diǎn)進(jìn)入磁場到第一次回到O點(diǎn)時，粒子在磁場中運(yùn)動時間為
   t₁=3×

2T

3

=2T，T=

2πm

qB

粒子在中空部分運(yùn)動時間為t₂=

6R1

v

所以粒子運(yùn)動的總時間為t=t₁+t₂=

4πm

qB

+

6R1

v

代入解得，t=5.74×10^-7s
答：
（1）為約束該粒子不穿越磁場外邊界，磁場區(qū)域的最小外半徑R₂為2.41m．
（2）若改變該粒子的入射速度V，使V=

3

3

V₀，該粒子從P點(diǎn)進(jìn)入磁場開始到第一次冋到P點(diǎn)所需耍的時間t=5.74×10^-7s．

點(diǎn)評：本題粒子在有圓形邊界的磁場做勻速圓周運(yùn)動的問題，畫出軌跡，根據(jù)幾何知識分析臨界條件，求半徑和圓心角是常用的思路．