Question

【題目】如圖所示為雨滴從高空下落過程中空氣阻力f隨雨滴速度v變化的大致情況，其中圖線①、②分別對應半徑不同的雨滴。

（1）請利用圖線分析并說明雨滴下落過程中加速度和速度隨時間變化的大致情況。

（2）已知圖中直線的斜率值，其中，r為雨滴的半徑。（雨滴的密度取）請比較①、②圖線所示的兩個雨滴下落的最終速度；請計算半徑r=5mm的雨滴下落的最終速度。

（3）已知一滴雨珠的重力可達蚊子體重的50倍之多，但是下雨時蚊子卻可以在“雨中漫步”。為研究蚊子不會被雨滴砸死的訣竅， 科學家用高速相機以每秒4000幀的速度拍攝，記錄雨滴擊中蚊子時二者相互作用的每一個動作，歸納并計算出蚊子與雨滴遭遇瞬間的作用力及其隨雨滴向下移動的距離。針對雨滴下落時正中蚊子的情況，研究發現蚊子被雨滴擊中時并不抵擋雨滴，而是與雨滴融為一體，順應雨滴的趨勢落下，隨后迅速側向微調與雨滴分離。現對比兩種情況：①蚊子在空中被雨滴砸中；②蚊子棲息于地面時被雨滴砸中，請建立理想模型，通過計算比較兩種情況下雨滴擊中時的沖擊對蚊子的傷害。（解題過程中需要用到的物理量，要在解題時作必要的說明）

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析

【解析】（1）雨滴下落過程中受到重力mg和空氣阻力f的作用，加速度方向向下

由牛頓第二定律知加速度大小

題中給出的f-v圖像表明，當下落速度v增大時，阻力f隨之增大

由上式可知加速度a隨之減小

由于加速度與速度方向相同，所以速度是增大的，只是增加得越來越慢

當重力mg和空氣阻力f相等時，雨滴以最大速度做勻速運動。

（2）當mg=f時，雨滴達到最終速度，將雨滴的質量，阻力

代入可得①。

a．①式說明，雨滴的半徑r越大，最終速越大，由f-v圖像可判斷出①圖線表示的雨滴比②圖線表示的雨滴半徑大，因此下落速度更大。

b．將雨滴的密度、半徑r=5mm及代入①式

可得半徑r=5mm的雨滴下落的最終速度

（3）方法一：

將蚊子在空中被雨滴砸中的情況視為雨滴與蚊子發生完全非彈性碰撞的模型，將蚊子棲息于地面時被雨滴砸中的情況視為雨滴與蚊子和大地組成的整體發生完全非彈性碰撞的模型。

對發生完全非彈性碰撞的兩個物體應用動量守恒定律：

碰撞過程損失的機械能為：①

在第①種情況中，因為雨滴的質量M約為蚊子的質量m的50倍，由①式可知損失的機械能約為雨滴下落時動能的；

在第②種情況中，將蚊子和地面視為整體，①式中的m代表地球與蚊子的質量之和，由①式可知損失的機械能約為雨滴下落時動能的全部。

碰撞過程機械能的損失伴隨著系統發生不可恢復的形變等過程，即使認為兩次作用的時間相等（實際上應有），亦可知第②種情況對蚊子的傷害大。

方法二：

仍采取上述完全非彈性碰撞模型，但從沖量和力的角度進行分析。

設雨滴的質量為M，蚊子的質量為m，雨滴下落到地面附近時速度大小為，因相互作用時間很短，不考慮重力的影響。

第①種情況：對雨滴與蚊子相互作用的過程應用動量守恒定律：，可得

設蚊子與雨滴間的相互作用力為，作用時間為，對雨滴應用動量定理，有

由于雨滴的質量M約為蚊子的質量m的50倍，所以v與幾乎相等， 即雨滴受到的沖量約等于零；

第②種情況：是雨滴與棲息了一只蚊子的地面發生相互作用的過程，雨滴與地面作用前速度大小為，作用后速度為零，設蚊子（與地面）和雨滴間的相互作用力為，作用時間為，對雨滴應用動量定理：

可知雨滴受到的沖量約等于雨滴質量與下落速度二者的乘積；

兩種情況相比，因為蚊子對雨滴的沖量與雨滴對蚊子的沖量大小相等，可知，第①種情況中蚊子受到的沖量小，即使認為兩次作用的時間相等（實際上應有），仍有，因此第②種情況對蚊子的傷害大。