Question

【題目】如圖所示，豎直面內(nèi)固定一傾角為45°的足夠長(zhǎng)光滑斜面，其上滑輪的頂端與一個(gè)固定的半徑R=0.5m的光滑圓弧最高點(diǎn)M及圓心O在同一水平線上。可視為質(zhì)點(diǎn)的A、B兩球質(zhì)量分別為mA=1kg和mB=2kg，用足夠長(zhǎng)的跨過滑輪及M點(diǎn)的細(xì)繩相連，A球的另一側(cè)與一固定在斜面底端擋板處的彈簧相連，勁度系數(shù)k=20N/m。起初用手托住B球在M點(diǎn)，細(xì)繩恰好伸直但無拉力。不計(jì)一切摩擦及滑輪質(zhì)量，斜面上的細(xì)繩、彈簧與斜面平行，無初速度釋放B球且此后細(xì)繩始終繃緊，g=10m/s2。

（1）求初始狀態(tài)彈簧的形變量。

（2）求B球到達(dá)圓弧軌道最低點(diǎn)時(shí)，彈簧的形變量及A、B兩球的速度比值。

（3）求B球到達(dá)圓弧軌道最低點(diǎn)時(shí)，A球的速度大小。

Answer 1

【答案】（1）（2）；（3）

【解析】

（1）初始狀態(tài)A球處于平衡狀態(tài)，所受合外力為零，對(duì)A球列式求解彈簧的形變量。（2）末態(tài)A球的實(shí)際速度沿斜面向上，B球的速度沿圓弧切線水平向右，二者實(shí)際速度沿繩方向的投影相等，根據(jù)平行四邊形定則求出兩個(gè)速度的關(guān)系。（3）由A球、B球、彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，求解A的速度。

（1）初始狀態(tài)A球處于平衡狀態(tài)，所受合外力為零

對(duì)A球有：

得：壓縮量

（2）當(dāng)B球到達(dá)圓弧軌道最低點(diǎn)時(shí)，A球沿斜面上升的距離為

此時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量

末態(tài)A球的實(shí)際速度沿斜面向上，B球的速度沿圓弧切線水平向右，二者實(shí)際速度沿繩方向的投影相等，即vA=vBcos450

解得

（3）因，故彈簧始末狀態(tài)的彈性勢(shì)能相等，

由A球、B球、彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒有：

得：vA=m/s