Question

【題目】在平面直角坐標系xoy中，x軸上方存在沿y軸負方向的勻強電場，電場強度為E，x軸下方存在垂直坐標平面向里的勻強磁場，磁感應強度為B。一個靜止的帶正電粒子位于y軸正半軸的A（0，h）點，某時刻由于內部作用，分裂成兩個電荷量都為+q的粒子a和b，分別沿x軸正方向和負方向進入電場。已知粒子a的質量為m，粒子a進入第一象限的動量大小為p。設分裂過程不考慮外力的作用，在電場與磁場中的運動過程不計粒子重力和粒子間的相互作用。求：

（1）粒子a第一次通過x軸時離原點O的距離x；

（2）粒子a第二次通過x軸時與第一次通過x軸時兩點間的距離L；

（3）若b粒子質量為a粒子質量的k倍，請利用（1）（2）中的結論推出xb與Lb的表達式。假設（1）（2）中的x=L，a粒子完成一個周期的運動時到達第一象限中的N點。現要使b粒子也能到達N點，試求k值應滿足的條件。

Answer 1

【答案】（1）x＝p（2）L＝（3） （其中n=1、2、3…，且k＞0）

【解析】試題分析：粒子a在電場中只受電場力，做類平拋運動，根據平拋運動公式求出粒子a第一次通過x軸時離原點O的距離x；粒子進入磁場后做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，求出半徑表達式，再根據幾何關系求出粒子a第二次通過x軸時與第一次通過x軸時兩點間的距離L; 兩粒子在分裂過程中遵守動量守恒定律，粒子b進入電場的初動量大小也為p，方向沿x軸負方向，畫出粒子的軌跡，根據幾何關系求出k值應滿足的條件。

（1）如圖所示，粒子a在電場中只受電場力，做類平拋運動，軌跡如圖所示

在水平方向：

在豎直方向：

粒子所受的電場力為：

粒子的動量為：

聯立以上解得：

（2）粒子a進入磁場時，設速度為v，與x軸正方向成 角，則

在豎直方向有：

在豎直方向的分速度為：

粒子a在磁場中做勻速圓周運動，設軌跡半徑為r，

由洛倫茲力提供向心力：

由幾何知識得：

聯立以上解得：

（3）兩粒子在分裂過程中遵守動量守恒定律，粒子b進入電場的初動量大小也為p，方向沿x軸負方向。

由于b的質量為km，利用（1）（2）中的結論可得：

或

或

若a粒子運動過程中有x=L，則一個周期后達到N點離y軸距離就為3L。

要使粒子b也能到達N點，由于粒子b的運動是周期性運動，如圖所示

為粒子b一個周期恰好達到N點時的軌跡圖。粒子b還可能經過n個周期到達N點，每個周期粒子b都要向右平移一小段距離3L/n。則b粒子到達N點的條件方程為：

聯立以上解得：（其中n=1、2、3…,且k>0）