Question

如圖所示，摩托車做騰躍特技表演，以1.0m/s的初速度沿曲面沖上高0.8m、頂部水平的高臺，若摩托車沖上高臺的過程中始終以額定功率1.8kW行駛，經過1.2s到達頂部平臺，接著離開平臺，落至地面時，恰能無碰撞地沿圓弧切線從A點切入光滑豎直圓弧軌道，并沿軌道下滑．A、B為圓弧兩端點，其連線水平．已知圓弧半徑為R=1.0m，人和車的總質量為180kg，特技表演的全過程中，阻力做功忽略不計．（計算中取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）．求：
（1）人和車到達頂部平臺時的速度v．
（2）從平臺飛出到A點，人和車運動的水平距離s．
（3）圓弧對應圓心角θ．
（4）人和車運動到圓弧軌道最低點O時對軌道的壓力．

Answer 1

分析：對摩托車的運動過程進行分析，運用動能定理研究開始到頂部平臺過程，可求出人和車到達頂部平臺時的速度v．
從平臺飛出到A點，這是一段平拋運動，運用平拋運動的規律求解水平距離s．
對平拋的末速度進行分解，利用幾何關系求出圓弧對應圓心角θ．
再次運用動能定理研究平臺到O點，求出O點速度，運用牛頓第二定律求出人和車運動到圓弧軌道最低點O時對軌道的壓力．

解答：解：（1）運用動能定理研究開始到頂部平臺過程可知：
pt₁-mgH=

1

2

mv²-

1

2

mv₀²
解得：v=3m/s
（2）由平拋運動規律可得：
H=

1

2

gt₂²，s=vt₂
帶入數據得：s=1.2m．
（3）摩托車恰能無碰撞地沿圓弧切線從A點切入光滑豎直圓弧軌道，落至A點時，其豎直方向的分速度
v_y=gt₂=4m/s．
設摩托車落地時速度方向與水平方向的夾角為α，則
tanα=

vy

v

=

4

3

，即α=53°
所以θ=2α=106°
（4）在摩托車由最高點飛出落至O點的過程中，由動能定理可得：mgH+mgR（1-cosα）=

1

2

mv′²-

1

2

mv²
在O點對其受力分析，運用牛頓第二定律得：N-mg=

mv′2

R

，
代入數據解出：N=7740N．
由牛頓第三定律可知，人和車在最低點O時對軌道的壓力為7740N．
答：（1）人和車到達頂部平臺時的速度v是3m/s．
（2）從平臺飛出到A點，人和車運動的水平距離s為1.2m．
（3）圓弧對應圓心角θ為106°．
（4）人和車運動到圓弧軌道最低點O時對軌道的壓力為7740N．

點評：該題考查了多個知識點的運用．
對于不規則的曲線運動求速度，我們應該想到動能定理去求解．對于平拋運動規律和圓周運動最高點、最低點的分析，作為基礎知識我們應該掌握．