Question

（18分）
如圖所示，電阻不計的兩光滑金屬導軌相距L，放在水平絕緣桌面上，半徑為R的l/4圓弧部分處在豎直平面內，水平直導軌部分處在磁感應強度為B，方向豎直向下的勻強磁場中，末端與桌面邊緣平齊。兩金屬棒ab、cd垂直于兩導軌且與導軌接觸良好。棒ab質量為2 m，電阻為r，棒cd的質量為m，電阻為r。重力加速度為g。開始時棒cd靜止在水平直導軌上，棒ab從圓弧頂端無初速度釋放，進入水平直導軌后與棒cd始終沒有接觸并一直向右運動，最后兩棒都離開導軌落到地面上。棒ab與棒cd落地點到桌面邊緣的水平距離之比為1:3。求：
（1）棒ab和棒cd離開導軌時的速度大小；
（2）棒cd在水平導軌上的最大加速度；
（3）兩棒在導軌上運動過程中產生的焦耳熱。

Answer 1

（1）
（2）
（3）

（1）設ab棒進入水平導軌的速度為v₁，ab棒從圓弧導軌滑下機械能定恒：
                                        ①                           （2分）
離開導軌時，設ab棒的速度為棒的速度為棒與棒在水平導軌上運動，
動量定恒，
      ②                           （2分）
依題意，兩棒離開導軌做平拋運動的時間相等，
由平熱量運動水平位移可知
   ③                           （2分）
聯立①②③解得 （2分）
（2）ab棒剛進入水平導軌時，cd棒受到的安培力最大，此時它的加速度最大，設此時回路的感應電動勢為      ④                           （1分）
                                                         ⑤                           （1分）
cd棒受到的安培力為：                 ⑥                           （1分）
根據牛頓第二定律，cd棒有最大加速度為
                                                       ⑦                           （1分）
聯立④⑤⑥⑦解得：
                                                                          （2分）
（3）根據能量定恒，兩棒在軌道上運動過程產生的焦耳熱為：
          ⑧                           （2分）
聯立①⑧并代入解得：
                                                                                （2分）