Question

（2011?湖北模擬）如圖所示，在鉛板A上放一個放射源C，可向各個方向射出速率為v的β射線，B為金屬網，A、B連接在電路上，電源電動勢為E，內阻為r，滑動變阻器的總阻值為R．圖中滑動變阻器滑片置于中點，AB間的間距為d，M為足夠大的熒光屏，M緊挨著金屬網外側．已知β粒子質量為m，電量為e．不計β射線所形成的電流對電路的影響，求：
（1）閉合開關S后，AB間場強的大小是多少？
（2）β粒子到達金屬網B的最長時間是多少？
（3）切斷開關S，并撤去金屬B，加上垂直紙面向里、范圍足夠大的勻強磁場，磁感應強度為B，設加上磁場后β粒子仍能到達熒光屏，這時在熒光屏上發亮區的長度是多少？

Answer 1

分析：（1）由圖可知，板間建立勻強電場，根據閉合電路歐姆定律求出電路中電流，由歐姆定律求出板間電壓，再由E=

U

d

求出板間場強．
（2）β粒子垂直進入勻強電場后，做勻變速曲線運動，垂直于板的方向做勻速直線運動，沿A板方向射出的β粒子沿板運動的位移最大，運動時間最長，這個粒子偏轉的距離等于板間距離d，根據牛頓第二定律和位移公式結合求解最長的運動時間．
（3）當撤去電場后β粒子垂直進入勻強磁場做勻速圓周運動，沿A板方向向上射出的β粒子到達上邊界最遠處．當β粒子的軌跡與下邊界相切時，β粒子到達下邊界最遠處．根據牛頓第二定律求出β粒子圓周運動的半徑，由幾何知識求解熒光屏上發亮區的長度．

解答：解：
（1）由閉合電路歐姆定律得：I=

E

R+r

  U_AB=

IR

2

=

ER

2(R+r)

由E_AB=

UAB

d

=

ER

2(R+r)d

（2）β粒子在兩板間運動只受電場力作用，
其加速度為a=

F

m

=

eEAB

m

=

eER

2(R+r)dm

分析可知，沿A板方向射出的β粒子做類平拋運動到達B板所用時間最長．
根據：d=

1

2

at²   
所以 t=

2d a

=2d

m(R+r) eER

（3）β粒子垂直進入磁場只受洛倫茲力做勻速圓周運動，則有：
   evB=

mv2

r′

     
得  r′=

mv

eB

熒光亮斑區的上邊界就是沿A板射出的β粒子所達的a點
有：（r′-d）²+

.

ab

2=r′²
解得，l₁=

.

ab

=

d(2r′-d)

=

d( 2mv eB -d)

熒光亮斑區的下邊界就是β粒子軌跡與屏相切的C點（做軌跡圖）
有：（r′-d）²+

.

bc

2=r′²
解得，l₂=

.

bc

=

d( 2mv eB -d)

在豎直方向上亮斑區的長度為l=l₁+l₂=2

d(2r′-d)

=2

d( 2mv eB -d)

答：
（1）閉合開關S后，AB間場強的大小是

ER

2(R+r)d

．
（2）β粒子到達金屬網B的最長時間是2d

m(R+r) eER

．
（3）在熒光屏上發亮區的長度是2

d( 2mv eB -d)

．

點評：本題是帶電粒子分別在勻強電場中和勻強磁場中運動的問題，研究的方法不同：電場中采用運動的分解法，磁場采用畫軌跡，運用幾何知識求解．