Question

如圖所示，長為L的細繩，一端系有一質量為m的小球，另一端固定在O點，細繩能夠承受的最大拉力為9mg．現將小球拉至細繩呈水平位置，然后由靜止釋放，小球將在豎直平面內擺動，不計空氣阻力．求：
（1）小球通過O點正下方時，小球對繩的拉力．
（2）如果在豎直平面內直線OA（OA與豎直方向的夾角為θ）上某一點O′釘一個小釘，為使小球可繞O′點在豎茸水平面內做完整圓周運動，且細繩不致被拉斷，OO′的長度d所允許的范圍．

Answer 1

分析：（1）從靜止到O點正下方得過程中根據機械能守恒定律列式，在最低點根據向心力公式列式，聯立即可求解；
（2）設小球繞O點在豎直面內做完整圓周運動的半徑為r，恰能過最高點時速度為v₂，根據向心力公式求出最高點速度，由水平到最高點，由動能定理求得最大半徑，對小球在小圓最低點時由向心力公式結合動能定理求出最小半徑，進而求出半徑的范圍，由于d=L-r，即可求出d的范圍．

解答：解：（1）設小球在O點正下方時的速度為v₁，繩的拉力為F，由機械能守恒定律得：
mgL=

mv02

2

         
在最低點    F-mg=

m v 2 1

L

 
解得    F=3mg   
由牛頓第三定律得，小球對繩的拉力大小F′=3mg，方向豎直向下． 
（2）設小球繞O點在豎直面內做完整圓周運動的半徑為r，恰能過最高點時速度為v₂，
則：mg=

m v 2 2

r

  
解得   v2=

rg

 
由水平到最高點，由動能定理：mg(Lcosθ-rcosθ-r)=

1

2

m

v

2 2

 
解得r=

2cosθ

3+2cosθ

L 
因繩能承受的最大拉力為T_m=9mg，設小球在小圓軌道最低點的速度為v₃，
由向心力公式得：T_m-mg=

m v 2 3

r

 
由動能定理得：mg(Lcosθ-rcosθ+r)=

1

2

m

v

2 3

 
解得   r=

cosθ

3+cosθ

L
所以r的取值范圍：

cosθ

3+cosθ

L≤r≤

2cosθ

3+2cosθ

L
由于d=L-r，所以有

3

3+2cosθ

L≤d≤

3

3+cosθ

L
答：（1）小球通過O點正下方時，小球對繩的拉力為3mg．
（2）d所允許的范圍為

3

3+2cosθ

L≤d≤

3

3+cosθ

L．

點評：本題主要考查了動能定理及向心力公式的應用，要注意小球能最高點對速度有要求，在最低時繩子的拉力不能超過最大承受力，難度適中．