Question

如圖所示，輕質彈簧將質量為m的小物塊連接在質量為M(M=3 m)的光滑框架內.小物塊位于框架中心位置時彈簧處于自由長度.現框架與小物塊共同以速度v₀沿光滑水平面向左勻速滑動.

(1)若框架與墻壁發生瞬間碰撞后速度為0且與墻壁間不黏連，求框架剛要脫離墻壁時小物塊速度的大小和方向；

(2)在(1)情形下，框架脫離墻壁后的運動過程中，彈簧彈性勢能的最大值E_pm;

(3)若框架與墻壁發生瞬間碰撞，立即反彈，在以后過程中彈簧的最大彈性勢能為 mv₀²，求框架與墻壁碰撞時損失的機械能ΔE₁;

(4)在(3)情形下試判定框架與墻壁能否發生第二次碰撞.若不能，說明理由．若能，試求出第二次碰撞時損失的機械能ΔE₂.(設框架與墻壁每次碰撞前后速度大小之比不變)

Answer 1

(1)框架與墻壁發生碰撞后,小物塊壓縮彈簧,當彈簧恢復原長時,小物塊的速度大小為v₀,方向向右,框架離開墻壁.                                                     

(2)在(1)情形下,當物塊與框架達到共同速度v時,彈性勢能最大.由動量守恒和機械能守恒得mv₀=(m+M)v①                                                             

    E_pm=mv₀²-(m+M)v²                                               ②

    由①②式得E_pm=mv₀².                                                

(3)設框架與墻壁第一次碰撞后反彈速度為v₁,以后達到的共同速度為v′,則Mv₁-mv₀=(m+M)v′                                                       ③

    mv₀²+Mv₁²-(m+M)v²=mv₀²                                     ④

    由③④式解得v₁=,v′=0                                    

    則ΔE₁=M(v₀²-v₁²)=mv₀².                                           

(4)設框架反彈后,當彈簧再次恢復原長時,框架和物塊的速度分別為v₁²、v₂²,則

    Mv₁′-mv₂′=Mv₁-mv₀                                                    ⑤

    mv₂′²+Mv₁′²=Mv₁²+mv₀²                                       ⑥

    由⑤⑥式解得v₁=,v₂′=v₀

    框架在往復運動中位移大小相等,因此能與墻壁發生第二次碰撞.              

    設第二次碰后框架的速度為v₂,由題意得,                              ⑦

    ΔE₂=M(v₁²-v₂²)                                                         ⑧

    由⑦⑧式解得ΔE₂=mv₀².