Question

【題目】現代科學儀器常利用電場、磁場控制帶電粒子的運動，某裝置可用于氣體中某些有害離子的收集，如圖甲所示，Ⅰ區為加速區，Ⅱ區為離子收集區，其原理是通過板間的電場或磁場使離子偏轉并吸附到極板上，達到收集的目的．已知金屬極板CE、DF長均為d，間距也為d，AB、CD間的電勢差為U，假設質量為m、電荷量為q的大量正離子在AB極均勻分布．離子由靜止開始加速進入收集Ⅱ區域，Ⅱ區域板間有勻強電場和垂直于紙面向里的勻強磁場，離子恰好沿直線通過Ⅱ區域；且只撤去電場時，恰好無離子從Ⅱ區域間射出，收集效率(打在極板上的離子占離子總數的百分比)為100%，(不考慮離子間的相互作用力、重力和極板邊緣效應)．

(1)求離子到達Ⅱ區域時的速度大小；

(2)求Ⅱ區域磁感應強度B的大小；

(3)若撤去Ⅱ區域磁場，只保留原來的電場，則裝置的收集效率是多少？

(4)現撤去Ⅱ區域的電場，保留磁場但磁感應強度大小可調．假設AB極上有兩種正離子，質量分別為m1、m2，且m1≤4m2，電荷量均為q1.現將兩種離子完全分離，同時收集更多的離子，需在CD邊上放置一探測板CP(離子必須打在探測板上)，如圖乙所示．在探測板下端留有狹縫PD，離子只能通過狹縫進入磁場進行分離，試求狹縫PD寬度的最大值。

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）50%（4）

【解析】 (1)離子在Ⅰ區域以初速度0開始加速，由動能定理：

qU＝mv2

可得v＝.

(2)Ⅱ區域只撤去電場時，沿DF極板進入的離子恰好不從極板射出，確定圓心，離子在磁場中的半徑r＝d，如圖所示．

磁場中洛倫茲力提供向心力：

qvB＝m

B＝.

(3)電場、磁場同時存在時，離子直線通過Ⅱ區域，滿足：

qE＝qvB

撤去磁場以后離子在電場力作用下做類平拋運動，假設進入Ⅱ區域時距離DF極板為y的離子恰好離開電場：

由平拋運動規律：y＝at2

d＝vt

qE＝ma

解得：y＝0.5d

當y>0.5d時，離子運動到Ⅱ區域的右邊界時仍位于DF極板的上方，因此離子會射出Ⅱ區域，即進入Ⅱ區域時到DF極板的距離為0.5d到d的離子會射出電場，則打在極板上的離子數占總數的百分比為

×100%＝50%.

(4)設兩離子在磁場中做圓周運動的半徑為R1和R2，根據洛倫茲力提供向心力得

qvB＝m

代入得：R1＝，R2＝

則半徑關系為＝

因為m1≤4m2，則有R1≤2R2，此時狹縫最大值x同時滿足(如圖所示)

x＝2R1－2R2

d＝2R1＋x

解得：x＝d