Question

在地面附近的真空中，存在著豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直紙面向里的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)隨時(shí)問變化情況如圖甲所示．該區(qū)域中有一條水平直線MN，D是MN上的一點(diǎn)．在t=0時(shí)刻，有一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為+q的小球（可看作質(zhì)點(diǎn)），從M點(diǎn)進(jìn)入該區(qū)域，沿著水平直線以速度v₀做勻速直線運(yùn)動(dòng)，t₀時(shí)刻恰好到達(dá)N點(diǎn)，如圖乙所示．經(jīng)過觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，小球在t=2t₀至t=3t₀時(shí)間內(nèi)的某一時(shí)刻，又豎直向下經(jīng)過直線MN上的D點(diǎn)，并且以后小球多次水平向右或豎直向下經(jīng)過D點(diǎn)．求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小；
（2）小球從M點(diǎn)進(jìn)人該區(qū)域到第二次經(jīng)過D點(diǎn)所用的時(shí)間；
（3）小球運(yùn)動(dòng)的周期，并畫出運(yùn)動(dòng)軌跡（只畫一個(gè)周期）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)電場(chǎng)力與重力平衡，即可求解；
（2）根據(jù)直線運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與周期公式，即可求解；
（3）由上分析，根據(jù)受力與運(yùn)動(dòng)情況，可畫出運(yùn)動(dòng)軌跡．

解答：解：（1）小球從M到N做勻速直線運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)平衡條件可得，qE=mg    
解得：E=

mg

q

       
（2）如圖所示，由題意可知，小球從M點(diǎn)到達(dá)N點(diǎn)所用時(shí)間：t₁=t₀   
小球到達(dá)N點(diǎn)時(shí)，空間加上磁場(chǎng)，小球受到的合外力就是洛侖茲力，因此小球從N點(diǎn)開始做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
根據(jù)題意，小球從沿水平方向經(jīng)過D點(diǎn)，變成沿豎直方向經(jīng)過D點(diǎn)，需要經(jīng)過

3

4

個(gè)圓周，到達(dá)P．
所以，做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是：t₂=t₀    
由圖可知，PD=R=

mv0

B0q

，
所以，小球從P到達(dá)D所用的時(shí)間為
t₃=

R

v

=

m

B0q

    
小球從進(jìn)入M點(diǎn)到第二次經(jīng)過D點(diǎn)的時(shí)間為
t=t₁+t₂+t₃=2t₀+

m

B0q

    
而t₀=

3

4

T=

3πm

2qB0

，所以解得：t=

(3π+2)m

2qB0

；
（3）小球運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的軌跡如圖所示．  
小球的運(yùn)動(dòng)周期為：T=8t₀=

12πm

qB0

答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小

mg

q

；
（2）小球從M點(diǎn)進(jìn)人該區(qū)域到第二次經(jīng)過D點(diǎn)所用的時(shí)間

(3π+2)m

2qB0

；
（3）小球運(yùn)動(dòng)的周期

12πm

qB0

，運(yùn)動(dòng)軌跡（如上圖所示）

點(diǎn)評(píng)：考查粒子在復(fù)合場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)，掌握受力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，注意學(xué)會(huì)畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，體現(xiàn)幾何的特性及對(duì)稱性．