Question

如圖所示，傳送帶與地面夾角θ=37°，從A到B長度為16m，在傳送帶上端A無初速地放一個質量為m=0.5kg的物體，它與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.5．（sin37°=0.6，cos 37°=0.8，取g=10m/s²）（1）如傳送帶保持靜止，求物體沿傳送帶下滑的加速度和時間；
（2）如傳送帶以v₀=10m/s的速率逆時針轉動．求物體從A運動到B需要的時間；
（3）傳送帶以多大的速度逆時針轉動時，物體從A運動到B需要的時間最短．

Answer 1

解：（1）傳送帶靜止時，物體受到沿斜面向上的滑動摩擦力作用，由牛頓第二定律得：
     mgsinθ-μmgcosθ=ma，
得加速度a=g（sinθ-μcosθ）=2m/s²
由，
得t==4s
（2）如傳送帶以v₀=10m/s的速率逆時針轉動，物體開始時受到沿斜面向下的滑動摩擦力，由牛頓第二定律得
    mgsinθ+μmgcosθ=ma₁，
加速度為
則物體加速到速度與傳送帶相同所經歷的時間為，
此過程通過的位移為，
由于μ=0.5＜tan37°，則速度相同后物體繼續向下做勻加速運動，所受的滑動摩擦力將沿斜面向上，則有
   mgsinθ-μmgcosθ=ma₂，
解得  加速度為 
由，解得，t₂=1s，
故物體從A運動到B需要的時間為t=t₁+t₂=2s
（3）物體從A運動到B一直以加速度勻加速運動需要的時間最短，設最短時間為t_min，則
  S=
得t_min==
當物體到達傳送帶底端速度恰好與傳送帶速度相同時，傳送帶速度為v=a₁t_min=10m/s，則傳送帶的速度大于等于
10m/s逆時針轉動時，物體從A運動到B需要的時間最短．
答：
（1）如傳送帶保持靜止，物體沿傳送帶下滑的加速度是2m/s²，時間是4s；
（2）如傳送帶以v₀=10m/s的速率逆時針轉動．物體從A運動到B需要的時間是2s；
（3）傳送帶的速度大于等于10m/s逆時針轉動時，物體從A運動到B需要的時間最短．
分析：（1）傳送帶靜止時，物體沿傳送帶勻加速下滑，分析物體的受力，由牛頓第二定律求加速度，由運動學位移公式求時間；
（2）如傳送帶以v₀=10m/s的速率逆時針轉動，物體開始時受到沿斜面向下的滑動摩擦力，由牛頓第二定律求出加速度，由運動學公式求出速度增加到與傳送帶相同所經歷的時間．速度相同時，由于μ＜tan37°，物體繼續向下做勻加速運動，所受的滑動摩擦力沿斜面向上，再由牛頓第二定律求出加速度，再位移公式求出時間，即可求得總時間；
（3）當物體從A運動到B一直做勻加速運動時，所需要的時間最短，由位移公式求出最短的時間．由速度公式求出傳送帶最小的速度．
點評：從此例題可以總結出，皮帶傳送物體所受摩擦力可能發生突變，不論是其大小的突變，還是其方向的突變，都發生在物體的速度與傳送帶速度相等的時刻．