Question

【題目】如圖所示，光滑水平面上有一小車B，右端固定一沙箱，沙箱上連接一水平的輕質彈簧，小車與沙箱的總質量為M=2kg。車上在沙箱左側距離S=1m的位置上放有一質量為m=1kg小物塊A，物塊A與小車的動摩擦因數為=0.1。僅在沙面上空間存在水平向右的勻強電場，場強E=2.3×103V/m。當物塊A隨小車以速度向右做勻速直線運動時，距沙面H=5m高處有一質量為的帶正電的小球C，以的初速度水平向左拋出，最終落入沙箱中。已知小球與沙箱的相互作用時間極短，且忽略彈簧最短時的長度，并取g=10m/s2。求：

（1）小球落入沙箱前的速度和開始下落時與小車右端的水平距離；

（2）小車在前進過程中，彈簧具有的最大值彈性勢能；

（3）設小車左端與沙箱左側的距離為L。請討論分析物塊A相對小車向左運動的整個過程中，其與小車摩擦產生的熱量Q與L的關系式。

Answer 1

【答案】(1)10m/s,方向豎直向下，15m （2）9J （3）①若時， ②若時，。

【解析】

小球C在電場中運動過程，受到重力和電場力作用，兩個力均為恒力，可采用運動的分解法研究：豎直方向做自由落體運動，水平方向做勻減速運動，根據牛頓第二定律和位移公式結合求解；小球落入沙箱的過程，系統水平動量守恒，由動量守恒定律求出小球落入沙箱后的共同速度．之后，由于車速減小，物塊相對車向右運動，并壓縮彈簧，當A與小車速度相同時彈簧的彈性勢能最大．根據動量守恒定律和能量守恒定律結合求解；由功能關系求熱量Q與L的關系式．要分物塊是否從小車上滑下兩種情況研究。

（1）小球C下落到沙箱的時間為，則豎直方向上：

代入數據解得：t=1s

小球在水平方向左勻減速運動：

根據速度公式有：

代入數據解得：，

所以小球落入沙箱瞬間的速度：，方向豎直向下

小球開始下落時與小車右端的水平距離：

設向右為正，在小球落快速落入沙箱過程中，小車（不含物塊A）和小球的系統在水平方向動量守恒，設小球球入沙箱瞬間，車與球的共同速度為，則有：

可得：

由于小車速度減小，隨后物塊A相對小車向右運動并將彈簧壓縮，在此過程中，A與小車（含小球）系統動量守恒，當彈簧壓縮至最短時，整個系統有一共同速度，則有：

解得：

根據能的轉化和守恒定律，彈簧的最大勢能為：

代入數據解得：

隨后彈簧向左彈開物塊A，假設A運動至車的左端時恰好與車相對靜止。此過程中系統動量仍然守恒，所以系統具有的速度仍為：

根據功能關系有：

解得小車左端與沙箱左側的距離為：

分情況討論如下：

①若時，物塊A停在距離沙箱左側處與小車一起運動，因此摩擦產生的熱量為：

②若時，物塊A最終會從小車的左端滑下，因此摩擦產生熱量為：