Question

如圖是蕩秋千的示意圖．最初人直立站在踏板上，兩繩與豎直方向的夾角均為θ，人的重心到懸點O的距離為l₁；從A點向最低點B運動的過程中，人由直立狀態自然下蹲，在B點人的重心到懸點O的距離為l₂；在最低點處，人突然由下蹲狀態變成直立狀態（人的重心到懸點O的距離恢復為l₁），且保持該狀態到最高點C．設人的質量為m，不計踏板和繩的質量、不計一切摩擦和空氣阻力，求
（1）人第一次到達最低點B還處于下蹲狀態時，兩根繩的總拉力F為多大？
（2）人第一次到達最高點C時，繩與豎直方向的夾角α為多大？（可用反三角函數表示；解答本問時可不考慮超重和失重）

Answer 1

分析：（1）人由A點向B點（還處于下蹲狀態時）的過程中，只有重力做功，運用機械能守恒求出到達B點時的速度大小，由牛頓第二定律列式求拉力F．
（2）人從B點保持直立狀態到達C點的過程中，根據機械能守恒求解α．

解答：解：（1）人由A點向B點（還處于下蹲狀態時）的過程中，
根據機械能守恒得，mg（l₂-l₁cosθ）=

1

2

mv2
在最低點B，F-mg=m

v2

l2

解得F=（3-

2l1cosθ

l2

）mg
（2）人從B點保持直立狀態到達C點的過程中，根據機械能守恒得，

1

2

mv2=mgl₁（1-cosα）
解得α=arccos（cosθ-

l2-l1

l1

）
答：
（1）人第一次到達最低點B還處于下蹲狀態時，兩根繩的總拉力F為（3-

2l1cosθ

l2

）mg．
（2）人第一次到達最高點C時，繩與豎直方向的夾角α為arccos（cosθ-

l2-l1

l1

）．

點評：本題是實際問題，要建立模型，將實際問題進行簡化，再運用機械能守恒和牛頓定律結合進行處理．