Question

在豎直平面內有一個光滑的半圓軌道，軌道兩端連線即直徑在豎直方向，軌道半徑為0.4m，一個質量為0.5kg的小球以一定的初速度滾上軌道（g取10m/s²）求：
（1）小球在最高點不脫離軌道的最小速率是多少？
（2）若小球在最高點速率v=4m/s，小球對軌道的壓力是多少？
（3）小球以v=4m/s的速率從最高點離開軌道，則小球落地點距最高點的水平距離是多少？

Answer 1

分析：（1）在最高點小球不脫離軌道的條件是重力不大于小球做圓周運動所需要的向心力，由牛頓第二定律列式求解速度；
（2）由牛頓第二定律列式求解軌道對小球的壓力，進而求解小球對軌道的壓力；
（3）從最高點離開軌道，做平拋運動，由運動分解與合成的知識解決．

解答：解：（1）在最高點小球不脫離軌道的條件是重力不大于小球做圓周運動所需要的向心力，即：
mg≤m

v2

R

解得最小速率為：vmin=

0.4×10

=2m/s
（2）因為v=4m/s＞v_min，所以軌道對小球有一定的壓力F，則：
F+mg=m

v2

R

解得：F=0.5×

16

0.4

-5=15N
由牛頓第三定律知，小球對軌道的壓力為15N
（3）小球離開軌道后做平拋運動，則：
2R=

1

2

gt2
解得：t=

4R g

=

4×0.4 10

=0.4s
則水平位移為：x=vt=0.4×4=1.6m
答：（1）小球在最高點不脫離軌道的最小速率是2m/s；
（2）若小球在最高點速率v=4m/s，小球對軌道的壓力是15N；
（3）小球以v=4m/s的速率從最高點離開軌道，則小球落地點距最高點的水平距離是1.6m．

點評：本題主要考查了向心力公式及平拋運動基本公式的直接應用，難度適中．