Question

（13分）在廣場游玩時，一個小孩將一充有氫氣的氣球用細繩系于一個小石塊上，并將小石塊放置于水平地面上。已知小石塊的質量為m。氣球(含球內氫氣)的質量為m₂，氣球體積為V，空氣密度為ρ（V和ρ均視作不變量），風沿水平方向吹，風速為υ。已知風對氣球的作用力f =Ku(式中K為一已知系數，u為氣球相對空氣的速度)。開始時，小石塊靜止在地面上，如圖所示。

   

（1）若風速υ在逐漸增大，小孩擔心氣球會連同小石塊一起被吹離地面，試判斷是否會出現這一情況，并說明理由。

（2）若細繩突然斷開，已知氣球飛上天空后，在氣球所經過的空間中的風速υ保持不變量，求氣球能達到的最大速度的大小。

Answer 1

解析：

（1）將氣球和小石塊作為一個整體：在豎直方向上，氣球(包括小石塊)受到重力G、浮力F和地面支持力N的作用，據平衡條件有    N = (m ₁+m₂)g ―ρgV           ①

由于式中N、，是與風速υ無關的恒力，故氣球會連同小石塊不會一起被吹離地面。

（2）氣球的運動可分解成水平方向和豎直方向的兩個分運動，達最大速度時

氣球在水平方向做勻速運動，有υ_x=υ                       ②

氣球在豎直方向做勻速運動，有     m₂g+kυ_y =ρgV              ③

氣球的最大速度         υ_m=         ④

聯立求解得