Question

（2009?茂名二模）如圖所示，位于豎直平面內的坐標系xoy，在其第三象限空間有沿水平方向的、垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B，還有沿x軸負方向的勻強電場，場強大小為E．在其第一象限空間有沿y軸負方向的、場強為E′=

4

3

E的勻強電場，并在y＞h區域有磁感應強度也為B的垂直于紙面向里的勻強磁場．一個帶電荷量為q的油滴從圖中第三象限的P點得到一初速度，恰好能沿PO作直線運動（PO與x軸負方向的夾角為θ=37°），并從原點O進入第一象限．已知重力加速度為g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，問：
（1）油滴的電性； 
（2）油滴在P點得到的初速度大小；
（3）油滴在第一象限運動的時間和離開第一象限處的坐標值．

Answer 1

分析：（1）油滴在復合場中做直線運動，垂直速度方向的合力一定為零，受力分析即可判斷；
（2）油滴受三個力作用（見右圖），從P到O沿直線必為勻速運動，設油滴質量為m，由平衡條件即可求解；
（3）粒子進入第一象限時，重力和電場力平衡，故粒子現做勻速直線運動，再做勻速圓周運動，最后做勻速直線運動，根據幾何關系和洛倫茲力提供向心力計算總時間并確定離開第一象限的位置．

解答：解：（1）油滴在復合場中做直線運動，垂直速度方向的合力一定為零，受力分析如圖所示：如果油滴帶負電，受力分析如（1）所示，帶正電，受力分析如（2）所示．因為要保證垂直速度方向合力為零，（2）中油滴一定做減速運動，這時洛侖茲力在變化，導致垂直速度方向的力發生變化，油滴不可能做直線運動，即油滴不僅垂直速度方向合力為零，沿速度方向合力也為零，則只能是（1）圖，所以油滴一定帶負電．
（2）油滴受三個力作用（見1圖），從P到O沿直線必為勻速運動，設油滴質量為m：
由平衡條件有qvBsin37°=qE
mgtan37°=qE
綜合前兩式，得：
v=

5E

3B

…①
m=

4qE

3g

…②
（3）進入第一象限，由電場力F′=qE′=

4

3

qE和重力 G=mg=

4qE

3g

?g=

4

3

qE，知油滴先作勻速直線運動，進入y≥h的區域后作勻速圓周運動，路徑如圖，最后從x軸上的N點離開第一象限．
由O→A勻速運動位移為s1=

h

sin37°

=

5

3

h知
運動時間：t₁=

s1

v

=

5 3 h

5E 3B

=

Bh

E

由幾何關系和圓周運動的周期關系式T=

2πm

qB

知
由A→C的圓周運動時間為t2=

74°

360°

T=

37

180

?

2π? 4qE 3g

qB

=

74πE

135gB

由對稱性知從C→N的時間t₃=t₁
在第一象限運動的總時間t=t1+t2+t3=

2Bh

E

+

74πE

135gB

由在磁場中的勻速圓周運動，有　qvB=

mv2

R

  ③
由①、②、③式解得得到軌道半徑r=

mv

qB

=

20E2

9gB2

圖中的ON=2(s1cot37°+rsin37°)=

8

3

(h+

E2

gB2

)
即離開第一象限處（N點）的坐標為（

8

3

(h+

E2

gB2

)，0）
答：（1）油滴帶負電； 
（2）油滴在P點得到的初速度大小為

5E

3B

；
（3）油滴在第一象限運動的時間為

2Bh

E

+

74πE

135gB

，離開第一象限處的坐標值為（

8

3

(h+

E2

gB2

)，0）．

點評：本題關鍵是先確定物體的運動情況，并畫出運動軌跡，然后逐段逐段分析，勻速運動階段受力平衡，勻速圓周運動階段洛倫茲力提供向心力．