Question

如圖所示，輕質彈簧將質量為m的小物塊連接在質量為M（M=3m）的光滑框架內．小物塊位于框架中心位置時彈簧處于自由長度．現框架與小物塊共同以速度V₀沿光滑水平面向左勻速滑動．
（1）若框架與墻壁發生瞬間碰撞后速度為0且與墻壁間不粘連，求框架剛要脫離墻壁時小物塊速度的大小和方向；
（2）在（1）情形下，框架脫離墻壁后的運動過程中，彈簧彈性勢能的最大值
（3）若框架與墻壁發生瞬間碰撞，立即反彈，在以后過程中彈簧的最大彈性勢能為2/3mv_o²，求框架與墻壁碰撞時損失的機械能△E₁
（4）在（3）情形下試判定框架與墻壁能否發生第二次碰撞？若不能，說明理由．若能，試求出第二次碰撞時損失的機械能△E2．（設框架與墻壁每次碰撞前后速度大小之比不變）

Answer 1

（1）框架與墻壁碰撞后，物塊以V₀壓縮彈簧，后又返回，當返回原位時框架開始離開，由機械能守恒知，此時物塊速度是v₀方向向右．
（2）設彈簧有最大勢能時共同速度為v 由動量守恒定律知   mv₀=4mv
由能量守恒定律    

1

2

mv02=

1

2

×4mv2+E_P×
E_P=

3

8

mv02                                            
（3）設框架反彈速度為v₁、最大勢能時共同速度為v，則
由動量、能量守恒定律得
3mv₁-mv₀=4mv

1

2

×3mv12+

1

2

mv02=

1

2

×4mv2+

2

3

mv02          
解得：9v12+18v₁v₀-7v02=0           v₁=

v0

3

     v′1=-

7

3

v₀（舍去）
帶入得：v=0                         
△E₁=

1

2

×3mv02-

1

2

×3mv12=

4

3

mv02     
（4）由（3）知第一次碰后反彈后，二者總動量為零，故當彈簧再次伸展后仍可繼續與墻壁相撞，并以V₁=

v0

3

的速度與墻壁相撞，由題意知，

v2

v1

=

v1

v0

  所以 v2=

v0

9

故△E₂=

1

2

×3m(

v0

3

)2-

1

2

×3m(

v0

9

)2=

4

27

mv02
答：（1）若框架與墻壁發生瞬間碰撞后速度為0且與墻壁間不粘連，框架剛要脫離墻壁時小物塊速度的大小為v₀，方向向右；
（2）在（1）情形下，框架脫離墻壁后的運動過程中，彈簧彈性勢能的最大值為

3

8

mv₀²；
（3）框架與墻壁碰撞時損失的機械能為

4

3

mv₀²；
（4）能，第二次碰撞時損失的機械能為

4

27

mv₀²．