Question

【題目】某傳送裝置如圖所示，檔板M固定在水平臺面上，連接有輕彈簧K，A、B是水平傳送帶的左、右兩端點，B點右側通過另一水平臺面BC與豎直半圓固定軌道CDH連接，D是半圓的中點，用質量m=1kg的物塊（可視為質點）向左緩慢擠壓彈簧使其具有一定的彈性勢能E并用細線鎖定（彈簧與物塊不拴接）。已知傳送帶順時針勻速旋轉，其速度v=4m/s，A、B間的距離L=2m，物塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.5（其余接觸面不計摩擦），圓軌道的半徑R=1m，重力加速度取g=10m/s2。某時刻剪斷細線，釋放物塊。

(1)若彈簧的彈性勢能E=2J，則物塊在傳送帶上第一次由A運動到B的時間是多少？

(2)若要物塊釋放后能滑上半圓軌道且沿半圓軌道運動時不脫離軌道，求彈簧的彈性勢能E應滿足的條件。

Answer 1

【答案】(1)0.6s (2)或

【解析】

(1)若彈簧的彈性勢能，設釋放后物塊在A點獲得的速度為，有：

可得：

因，故物塊滑上傳送帶后受摩擦力作用而做加速運動，設其加速度大小為a，對物塊由牛頓第二定律有：

可得：

設物塊加速至與傳送帶共速需要時間，所需位移，有：

因，故物塊此后在傳送帶上做勻速直線運動，其時間：

故物塊在傳送帶上運動時間：

(2)物塊經過點由滑上圓軌道，若剛好到達點，則在點的速度為零，設其在點的速度為，對→，由機械能守恒有：

可得：

因，故物塊在傳送帶上做勻減速直線運動，設此情況彈簧對應的彈性勢能為，對物塊釋放→，由動能定理有：

由功能關系有彈簧具有的彈性勢能：

可得：

若物塊剛好到達點，設其在點的速度為，在點由牛頓第二定律有

可得：

對物塊釋放→，由動能定理有：

由功能關系有彈簧具有的彈性勢能：

可得：

綜上所述，要物塊釋放后不脫離圓軌道，彈簧的彈性勢能應滿足：

或