Question

如圖所示，質量均為m的兩小球A和B用長為3L的輕桿相連，輕桿可繞距A小球2L的軸O在豎直平面內自由轉動．現將輕桿拉至水平位置并由靜止釋放，試求：
（1）在輕桿運動到豎直位置時，A小球的速度v_A=？
（2）在輕桿運動到豎直位置的過程中，桿對A球所做的功？
（3）當輕桿轉動到豎直位置時，桿對轉軸O的作用力的大小和方向？

Answer 1

分析：（1）小球A、B系統中，只有重力勢能和動能相互轉化，機械能守恒，根據守恒定律列式求解即可；
（2）桿對A球做的功等于A球機械能的增加量，根據功能關系列式求解即可；
（3）先分別求解出桿對A、B小球的作用力，然后結合牛頓第三定律列式求解出球對桿的作用力，最后根據平衡條件得到桿對轉軸O的作用力的大小和方向．

解答：解：（1）A、B在同一個桿上，所以A、B具有相同的角速度．記細桿轉到豎直位置時的角速度為ω．則線速度ω_A=OA×ω=2Lω，v_B=OB×ω=Lω； 
所以，v_B=

1

2

v_A      ①
根據機械能守恒定律，有重力勢能的減小量等于系統動能的增加量，故
mg×2L-mgL=

1

2

m

v

2 A

+

1

2

m

v

2 B

       ②
聯立①②解得
vA=2

2 5 gL

vB=

2 5 gL

（2）根據功能關系可知，桿對A球做的功等于A球機械能的增加量，即
W=

1

2

m

v

2 A

-mg×2L=-1.2mgL
（3）對B球，vB=

2 5 gL

＜

gL

，故受重力和支持力，合力提供向心力，有
mg-FB=m

v 2 B

L

    ③
對A球，受重力和拉力，合力提供向心力，有
FA-mg=m

v 2 A

2L

     ④
由③④兩式解得
F_B=0.6mg
F_A=1.8mg
根據牛頓第三定律，球B對桿向下的彈力為0.6mg，球A對桿向上的彈力為1.8mg，故桿對轉軸的作用力為1.8mg-0.6mg=1.2mg，向上；
答：（1）在輕桿運動到豎直位置時，A小球的速度v_A=2

2 5 gL

；
（2）在輕桿運動到豎直位置的過程中，桿對A球所做的功為-1.2mgL；
（3）當輕桿轉動到豎直位置時，桿對轉軸O的作用力的大小為1.2mg，方向向上．

點評：本題關鍵是A、B小球整體機械能守恒，根據守恒定律列式求解速度，然后根據牛頓第二定律并結合向心力公式列式求解彈力．