Question

如圖所示，長為L的光滑水平軌道PQ與兩個曲率半徑相同的光滑圓弧軌道相連，圓弧軌道與水平軌道連接處的切線為水平方向，A球以速度v₀向右運動，與靜止于水平軌道中點處的小球B發生碰撞，碰撞時無機械能損失，已知A、B兩球的質量分別為m_A，m_B，且m_A:m_B=1:4，小球在圓弧軌道上的運動可認為是簡諧運動。（每次碰撞均無機械能損失）試求：
（1）第一次碰撞剛結束時小球A、B各自的速度。
（2）兩球第二次碰撞位置距Q點多遠？
（3）討論小球第n次碰撞結束時各自的速度。

Answer 1

（1）（2）（3）n為奇數時，碰后速度為   
n為偶數時，碰后速度為        

（1）設A、B球第一次碰撞剛結束時的速度分別為v₁、v₂，取向右為正，由碰撞過程中動量守恒和機械能守恒得： （2分）
      （2分）
解得：        （2分）
（2）兩球在圓弧軌道上運動的時間均為簡諧運動周期的二分之一，時間相等，側兩球在水平軌道上運動的時間也相等。
      （4分）
到Q點的距離為        （2分）
（3）設第二次碰撞后的A、B球速度分別為v₁＇、v₂＇，由碰撞中動量守恒和機械能守恒得：    （1分）
（1分）
解得：           （2分）
第三次碰撞前速度與第一次碰撞前相同，因此第一次碰撞后速度與第一次碰撞后速度相同計算可知第四次碰撞又回到中點位置，則第五次碰撞的速度與第一次完全相同
由此可知：n為奇數時，碰后速度為   
n為偶數時，碰后速度為        （2分）