Question

如圖所示，由六根質量不計的導體棒組成一個人字形線圈，放在光滑絕緣水平面上，每根導棒長均為L=1m，線圈總電阻R=0.2Ω，將ad與a′d′用細線OO′拉住，e、f是兩個質量都為m=0.1kg光滑轉軸，四根傾斜導體棒與水平面成37⁰角．人字形線圈在水平面投影區內有兩塊對稱的區域，豎直向上的勻強磁場B穿過這兩塊區域．如圖中陰影區域所示（ad與a′d′恰在磁場中），其他地方沒有磁場．磁場按B=

1

3

+0.5t 的規律變化，取sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）t=0時水平面對線圈ad邊支持力的大小和此時通過線圈電流大小；
（2）經過多少時間線圈的ad邊與a′d′邊開始運動？
（3）若在磁場力作用下經過一段時間，當線圈中產生了Q=1.2J熱量后線圈剛好能完全直立（即ad邊與a′d′邊并攏在一起），則在此過程中磁場對線圈總共提供了多少能量？
（4）若人形線圈從直立狀態又散開，此時磁感強度為B₀=

1

3

T且不再變化，則ad邊與a′d′再次剛進入磁場時，通過線圈的電流為多大？

Answer 1

分析：（1）t=0時，對整個線圈以a′d′為轉動軸，由力矩平衡求出水平面對線圈ad邊支持力的大小．由法拉第電磁感應定律求出感應電動勢，由歐姆定律求出線圈中電流的大小．
（2）平衡剛被破壞時細線OO′中拉力為零，對半個線圈以ef為轉動軸，由力矩平衡求出安培力的大小，由F=BIL求出磁感應強度大小，由B=

1

3

+0.5t 求出時間．
（3）線圈由平衡被破壞到完全直立過程中，磁場對線圈總共提供的能量等于線圈機械能的增加量與內能之和．
（4）人形線圈從直立狀態又散開，根據動能定理求出ad邊與a′d′再次剛進入磁場時兩軸e、f的速度，由速度關系得到ad邊與a′d′再次剛進入磁場時的速度，由法拉第定律和歐姆定律及歐姆定律求解電流．

解答：解：（1）對整個線圈以a′d′為轉動軸，由力矩平衡有
N×2Lcos37°=2mg×Lcos37°
由上式得　N=mg=0.1×10N=1N
E=

△B

△t

S=0.5×0.2×1×2=0.2V
I=

E

R

=

0.2

0.2

=1A　　　　　
（2）平衡剛被破壞時細線OO′中拉力為零，對半個線圈以ef為轉動軸，由力矩平衡有
   F_A×Lsin37°=N×L cos37°  
得  FA=Nctg37o=1×

4

3

N=

4

3

N
由F_A=B_tIL
得Bt=

FA

IL

=

4 3

1×1

T=

4

3

T
由關系式B_t=

1

3

+0.5t　　得  t=2B_t-

2

3

=2×

4

3

-

2

3

=2（s）
（3）線圈由平衡被破壞到完全直立過程中機械能的增加量
△E_P=2mgL（1-sin37°）=2×0.1×10×1×（1-0.6）J=0.8J　
磁場提供的能量 E=△E_P+Q=（0.8+1.2）J=2J　　
（4）人形線圈從直立狀態又散開，ad邊與a′d′再次剛進入磁場時，設兩軸e、f的速度為v（方向豎直向下），ad邊與a′d′邊的速度大小為v_x （方向水平）
由動能定理  2mgL（1-cos37°）=2×

1

2

mv²　　　　　　　　　　
v=

2gL(1-cos37o

)=

2×10×1×(1-0.8)

m/s=2m/s
而v_x=vcot37°=2×

4

3

=

8

3

m/s　　　　　　　　　　　　　　
ad邊與a′d′邊每一條邊的電動勢Eˊ=B₀Lv_x=

1

3

×1×

8

3

V=

8

9

V
線圈中的電流  Iˊ=

2E′

R

=

2× 8 9

0.2

A=

80

9

A=8.9A
答：
（1）t=0時水平面對線圈ad邊支持力的大小為1N，此時通過線圈電流大小是1A；
（2）經過2s時間線圈的ad邊與a′d′邊開始運動．
（3）磁場對線圈總共提供了2J的能量．
（4）ad邊與a′d′再次剛進入磁場時，通過線圈的電流為8.9A．

點評：本題是非常復雜的電磁感應與力學的綜合題從力和能量兩個方面進行研究，根據力矩平衡求解支持力，運用法拉第電磁感應定律求解感應電動勢，對能力要求較高．