Question

如圖所示，水平地面上方被豎直線MN分隔成兩部分，M點左側地面粗糙，與B球間的動摩擦因數為μ=0.5，右側光滑．MN右側空間有一范圍足夠大的勻強電場，在O點用長為R=5m的輕質絕緣細繩，拴一個質量m_A=0.04kg，帶電量為q=+2×10^-4C的小球A，在豎直平面內以v=10m/s的速度做順時針勻速圓周運動，小球A運動到最低點時與地面剛好不接觸．處于原長的彈簧左端連在墻上，右端與不帶電的小球B接觸但不粘連，B球的質量m_B=0.02kg，此時B球剛好位于M點．現用水平向左的推力將B球緩慢推至P點（彈簧仍在彈性限度內），MP之間的距離為L=10cm，推力所做的功是W=0.27J，當撤去推力后，B球沿地面向右滑動恰好能和A球在最低點處發生正碰，并瞬間成為一個整體C（A、B、C均可視為質點），速度大小變為5m/s，方向向左；碰撞前后電荷量保持不變，碰后瞬間立即把勻強電場的場強大小變為E=6×10³N/C，電場方向不變，求：
（1）在A、B兩球碰撞前勻強電場的大小和方向；
（2）彈簧具有的最大彈性勢能；
（3）整體C運動到最高點時繩的拉力大小．（取g=10m/s²）

Answer 1

分析：（1）小球在豎直平面內做勻速圓周運動，合力始終指向圓心且大小不變，所以電場力要與重力平衡抵消，繩子的拉力提供向心；
（2）先根據功能關系求出小球B運動到M點時速度，由動量守恒定律求得共同速度；
（3）把勻強電場的場強大小變為E=6×10³N/C，電場方向不變時，分析小球的運動情況．由動能定理求得小球達到最高點的速度，再根據向心力公式即可求解；

解答：解：（1）要使小球在豎直平面內做勻速圓周運動，必須滿足：F_電=Eq=m_Ag
所以 E=

mAg

q

=

0.04×10

2×10-4

N/C=2×10³N/C，方向豎直向上．
（2）由功能關系得，彈簧具有的最大彈性勢能 E_P=W-μm_BgL=0.27-0.5×0.02×10×0.1=0.26（J）．
（3）設小球B運動到M點時速度為v_B，由功能關系得：
  E_P-μm_BgL=

1

2

mB

v

2 B

解得：v_B═5m/s
兩球碰后結合為C，設C的速度為v₁，取向左為正方向，對于兩球組成的系統，由動量守恒定律得：
 m_Av-m_Bv_B=m_Cv₁
解得：v₁=5m/s
電場變化后，因 E′q-m_Cg=0.6N，mC

v 2 C

R

=0.3N
則mC

v 2 C

R

＜E′q-m_Cg
所以C不能做圓周運動，而是做類平拋運動，
設經過時間t繩子在Q處繃緊，由運動學規律得
  x=v₁t
  y=

1

2

at2
根據牛頓第二定律得；a=

E′q-mCg

mC

根據數學知識有：x²+（R-y）²=R²  
可得：t=1s
則得：v_y=at=10m/s，x=y=R=5m
即：繩子繃緊時恰好位于水平位置，繩子繃緊后水平方向速度變為0，以豎直速度v₂=v_y開始做圓周運動．
設到最高點時速度為v₃
由動能定理得：

1

2

mC

v

2 3

-

1

2

mC

v

2 2

=E′qR-m_CgR
解得：v₃=10

2

m/s
在最高點由牛頓運動定律得：T+m_Cg-E′q=m_C

v 2 3

R

解得：T=3N 
答：（1）在A、B兩球碰撞前勻強電場的大小為2×10³N/C，方向豎直向上；（2）彈簧具有的最大彈性勢能為0.26J；（3）整體C運動到最高點時繩的拉力大小為3N．

點評：本題主要考查了動能定理、動量守恒定律、牛頓第二定律及功能關系的應用，要求同學們能正確分析物體的受力情況及運動過程，難點較大．