Question

如圖所示，光滑軌道的DP段為水平軌道，PQ段為半徑是R的豎直半圓軌道，半圓軌道的下端與水平的軌道的右端相切于P點，一輕質彈簧左端A固定，另一端拴接一個質量為m的小球B，質量也為m的小球C靠在B球的右側，現用外力作用在C上，使彈簧被壓縮了0.4R（彈簧仍在彈性限度內）．這時小球靜止于距離P端3R的水平軌道上，若撤去外力，C球運動到軌道的最高點Q后又恰好落回到原出發點．已知重力加速度為g．求

（1）小球C運動到Q點時對軌道的壓力多大？
（2）撤去外力前的瞬間，彈簧的彈性勢能E_P是多少？

Answer 1

分析：（1））彈簧和B、C兩個球的組成的系統能量守恒，B、C脫離彈簧時，彈簧的彈性勢能轉化為B、C球的動能，C球在運動的過程中機械能守恒，離開Q點之后C球做的是平拋運動，由平拋運動的規律可以求得小球在Q點的速度的大小，從而由牛頓第二定律可以求得C球到Q點時對軌道的壓力．
（2）撤去外力前的瞬間，彈簧的彈性勢能作用下，B、C兩球獲得動能，因此借助平拋運動求出C球拋出速度，再由機械能守恒算出小球C被彈出的速度，從而根據能量守恒，確定撤去外力時彈簧的彈性勢能．

解答：解：（1）設小球經過最高點Q時的速度為v，
由平拋規律有：豎直方向 2R=

1

2

gt2
水平方向：3R=vt
聯立兩式得：v=

3

2

gR

小球C在最高點，由牛頓第二定律得：FN+mg=m

v2

R

解得：FN=

5

4

mg
（2）設小球C離開小球B時的速度為v₀，只有重力做功，小球機械能守恒．
由機械能守恒有：

1

2

m

v

2 0

=

1

2

mv2+2mgR
彈簧恢復到原長時脫離，則由能量守恒有：EP=

1

2

×2m

v

2 0

聯立上述各式得：EP=

5

2

mgR
答：（1）小球C運動到Q點時對軌道的壓力

5

4

mg；
（2）撤去外力前的瞬間，彈簧的彈性勢能E_P是

5

2

mgR．

點評：本題考查了能量的轉化和守恒，同時還有機械能守恒和平拋運動的規律，涉及的知識點較多，對學生的能力要求較高．