Question

如圖所示，粗糙的斜面AB下端與光滑的圓弧軌道BCD相切于B，整個裝置豎直放置，C是最低點，圓心角∠BOC=37°，圓弧軌道半徑R=0.5m，斜面長L=2m，整個軌道除AB段以外都是光滑的，如圖所示．現有一個質量m=0.1kg的小物塊以初速度v_o=4m/s，從某一高處水平拋出，到A點時速度方向恰沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下．已知物塊與傾斜軌道的動摩擦因數μ=0.5（g取10m/s²，sin37°=0.60，cos37°=0.08）．
求：
（1）物塊的拋出點和A點的高度差；
（2）物塊到達B點時速度大小；
（3）物塊離開D點后會從空中返回到圓軌道和斜面，在此后的整個運動過程中；物塊通過C點時對軌道的最小壓力為多大？

Answer 1

分析：（1）物塊從拋出點到A點做平拋運動，到A點時速度方向恰沿AB方向，則速度方向與水平方向的夾角等于斜面的傾角37°，根據tan37°=

vy

v0

，及豎直方向的運動規律v_y=

2gh

，可求出拋出點和A點的高度差；
（2）研究A到B過程，根據動能定理求出物塊到達B點時速度大小；
（3）由于機械能損失，物塊最終在B與其等高的圓弧軌道上來回運動，經過C點的壓力最小，根據機械能守恒定律求出經過C點的速度，根據牛頓第二、第三定律求出物塊通過C點時對軌道的最小壓力．

解答：解：（1）設物塊物塊的拋出點和A點的度差為h，到達A點時豎直方向的速度大小為v_y，則由題意得
  tan37°=

vy

v0

，
解得，v_y=v₀tan37°
又v_y=

2gh

，
聯立解得 h=0.45m
（2）物塊到達A點的速度為v_A=

v 2 0 + v 2 y

=5m/s
從A到B，根據動能定理得
mgLsin37°-μmgcos37°?L=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 A

解得，v_B=

33

m/s
（3）物塊最后在B與其等高的圓弧軌道上來回運動，經過C點的壓力最小，
由B到C過程，根據機械能守恒定律
   mgR（1-cos37°）=

1

2

m

v

2 C

解得，v_C=

2

m/s
由牛頓第二定律得：
  N-mg=m

v 2 C

R

解得，N=1.4N
由牛頓第三定律得，物塊通過C點時對軌道的最小壓力為N′=N=1.4N．
答：（1）物塊的拋出點和A點的高度差是0.45m；
（2）物塊到達B點時速度大小是

33

m/s；
（3）物塊通過C點時對軌道的最小壓力為1.4N

點評：本題是平拋運動、動能定理、機械能守恒與牛頓定律的綜合應用，難點在于分析過程，得到物塊最后的運動狀態．