Question

【題目】如圖，一半徑為R的玻璃半球，O點是半球的球心，虛線OO′表示光軸（過球心O與半球底面垂直的直線）。已知玻璃的折射率為1.5。現有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光線能從球面射出（不考慮被半球的內表面反射后的光線）。求

（i）從球面射出的光線對應的入射光線到光軸距離的最大值；

（ii）距光軸的入射光線經球面折射后與光軸的交點到O點的距離。

Answer 1

【答案】（i） ；（ii）

【解析】（i）如圖，從底面上A處射入的光線，在球面上發生折射時的入射角為i，當i等于全反射臨界角i0時，對應入射光線到光軸的距離最大，設最大距離為l。

①

設n是玻璃的折射率，由全反射臨界角的定義有 ②

由幾何關系有③

聯立①②③式并利用題給條件，得④

（ii）設與光軸距的光線在球面B點折射時的入射角和折射角分別為i1和r1，由折射定律有

⑤

設折射光線與光軸的交點為C，在△OBC中，由正弦定理有⑥

由幾何關系有⑦

⑧

聯立⑤⑥⑦⑧式及題給的條件得 ⑨