Question

【題目】我們已經學過了關于兩個質點之間萬有引力的大小是：F=．但是，在某些特殊情況下，非質點之間的萬有引力計算及其應用的問題，我們可以利用下面兩個已經被嚴格證明是正確的結論，而獲得快速有效地解決：

a．若質點m放置在質量分布均勻的大球殼M（球殼的厚度也均勻）的空腔之內，那么m和M之間的萬有引力總是為零．

b．若質點m放置在質量分布均勻的大球體M之外（r≥r0），那么它們之間的萬有引力為：F=，式中的r為質點m到球心之間的距離; r0為大球體的半徑．

假設地球可視為一個質量分布均勻且密度為ρ的球體，通過地球的南北兩極之間能夠打通一個如圖所示的真空小洞．若地球的半徑為R，萬有引力常數為G，把一個質量為m的小球從北極的洞口由靜止狀態釋放后，小球能夠在洞內運動．

（1）求：小球運動到距地心為0.5R處的加速度大小a；

（2）證明：小球在洞內做簡諧運動；

（3）求：小球在運動過程中的最大速度vm．

Answer 1

【答案】（1） （2） 做簡諧運動（3）

【解析】

解：（1）根據題意可知，小球距離地心為r=0.5R處萬有引力大小

又

由牛頓第二定律可知

三式聯立可得：

（2）假設小球相對于球心的位移是x，則有：

又

兩式聯立可得：

考慮萬有引力F的方向總是指向地心，即F的方向和小球相對于地心的位移x的方向總是方向相反的， 若令 ：

則有：

結論：小球在洞內做簡諧振動．

（3） 由可知，從洞口到地心，小球的萬有引力大小F是隨著做功的距離線性減少的

所以

所以