Question

目前我國的航天科技迅速發展，許多實驗在宇宙飛船上進行，并且取得了可喜的成果.

2005年10月12日，“神舟”六號乘載兩人升空，在離地高度約300 km的圓軌道上運行77圈，歷時115.5小時，已知地球半徑為6 400 km，求：

（1）“神舟”六號飛船繞地球運行的速度約為多少？

（2）“神舟”六號飛船發射到預定的軌道，必須經過加速、調姿、變軌等一系列過程，其中的變軌過程就是利用反沖運動來實現的.如圖所示，發射飛船時，先把飛船送入近地點Q，然后使其沿橢圓軌道到達遠地點P，此時飛船的速度為v.若P點到地心的距離為r,飛船的總質量為m，地球半徑為R，地面的重力加速度為g,欲使飛船從P點處做半徑為r的圓軌道運動，則飛船在P點應將質量為Δm的燃氣以相對于地球  多大的速度向后噴出？（假定飛船噴氣的過程可等效為一次噴氣）

Answer 1

（1）v=7.8×10³ m/s

（2）噴氣速度v₁=·R-

解析：（1）由題意知：h=300 km=3×10⁵ m.

R=6 400 km=6.4×10⁶ m.

T==h=1.5 h=90 min=90×60 s=5 400 s

r=h+R=6.7×10⁶ m

則“神舟”六號繞地球運行速度v===7.8×10³ m/s.

（2）飛船噴出質量為Δm的燃氣后，剩余質量為（m-Δm）,取飛船在P點的運動方向為正方向，設飛船噴氣速度為v₁,飛船因反沖獲速為v₂,由動量守恒定律得

mv=(m-Δm)v₂+Δm(-v₁)                                                        ①

飛船噴氣后剩余部分（m-Δm）在半徑為r的圓軌道上做圓周運動的條件是萬有引力提供向心力，有：

G=(m-Δm)                                                   ②

在地球表面處有：G=mg得GM=gR²                                        ③

由②③得v₂=R                                                           ④

④代入①得：v₁=·R-.