Question

【題目】中國著名科幻作家劉慈欣在其作品《人間大炮》中展現了前人所提出的“地心隧道”設想，即開通一條穿過地心的筆直隧道，如圖所示。下面是《人間大炮》中的一段文字：

沈華北的本意是想把話題從政治上引開去，他成功了，貝加納來了興趣：“沈，你的思維方式總是與眾不同……讓我們看看：我跳進去（指跳進地心隧道）后會一直加速，雖然我的加速度會隨墜落深度的增加而減小，但確實會一直加速到地心，通過地心時我的速度達到最大值，加速度為零；然后開始減速上升，這種減速度的值會隨著上升而不斷增加，當到達地球的另一面阿根廷的地面時，我的速度正好為零。如果我想回中國，只需從那面再跳下去就行了，如果我愿意，可以在南北半球之間做永恒的簡諧振動，嗯，妙極了，可是旅行時間……”假設地球質量分布均勻地球半徑為R，地表附近重力加速度為g，物體從隧道口由靜止釋放，不計空氣阻力，請完成以下問題

（1）指出物體做簡諧運動的平衡位置。（不需證明）

（2）已知均勻球殼對殼內物體引力為零，請證明物體在地心隧道中的運動為簡諧運動。

（3）做簡諧運動的物體回復力為F=-kx，其周期為，其中m為物體的質量，請求出物體從隧道一端靜止釋放后到達另一端需要多少分鐘。（地球半徑R=6400km，地表重力加速為g=10m/s2，π=3.14，最終結果請保留一位小數）

Answer 1

【答案】（1）地心為物體做簡諧運動的平衡位置（2）地表：以地心為位移起點，設某時刻位移為x，如圖所示，此處為萬有引力提供回復力，由于均勻球殼對殼內物體引力為零，則有： ，整理可得：，為常數，即該物體運動為簡諧運動（3）41.9分鐘

【解析】

（1）地心為物體做簡諧運動的平衡位置

（2）在地球表面萬有引力等于重力：

地球的質量為：

以地心為位移起點，設某時刻位移為x，如圖所示，此處為萬有引力提供回復力，由于均勻球殼對殼內物體引力為零，則有：

整理可得：，為常數，即該物體運動為簡諧運動

（3）由得，該物體做簡諸運動周期為：

物體從隧道口一端靜止釋放后到達另一端所用的時間為半個周期，則：

代入數據可得：t=41.9分鐘