Question

如圖所示，一水平傳送裝置由輪半徑均為R=m的主動輪Q₁和從動輪Q₂及傳送帶等構成．兩輪軸心相距l_AB=8.0m，輪與傳送帶不打滑．現用此裝置運送一袋面粉，已知這袋面粉與傳送帶之間的動摩擦因數μ=0.4，這袋面粉中的面粉可不斷地從袋中滲出．（g取10m/s²）
（1）當傳送帶以4.0m/s的速度勻速運動時，將這袋面粉由左端Q₂正上方的A點輕放在傳送帶上后，這袋面粉由A端運送到Q₁正上方的B端所用的時間為多少？
（2）要想盡快將這袋面粉由A端送到B端（設初速度仍為零），主動輪Q₁的轉速至少應為多大？
（3）由于面粉的滲漏，在運送這袋面粉的過程中會在深色傳送帶上留下白色痕跡，這袋面粉在傳送帶上留下的痕跡最長能有多長（設袋的初速度仍為零）？此時主動輪的轉速應滿足何種條件？

Answer 1

解：設面粉袋的質量為m，其在與傳送帶產生相對滑動的過程中所受的摩擦力f=μmg
故而其加速度為：a==μg=4.0 m/s²．
（1）若傳送帶的速度v_帶=4.0 m/s，則：
面粉袋加速運動的時間t₁==1.0 s
在t₁時間內面粉袋的位移s₁=at=2.0 m
其后以v=4.0 m/s的速度做勻速運動
s₂=l_AB-s₁=vt₂
解得：t₂=1.5 s
故這袋面粉運動的總時間為：t=t₁+t₂=2.5 s．
（2）要想時間最短，面粉袋應一直向B端做加速運動，由l_AB=at′²可得：t′=2.0 s
此時傳送帶的運轉速度最小為：v′=at′=8.0 m/s
v=ωr=2πnR可得：轉速的最小值n=240 r/min（或4 r/s）．
（3）傳送帶的速度越大，“痕跡”越長．當面粉的痕跡布滿整條傳送帶時，痕跡達到最長．即痕跡長△s=2l+2πR=18.0 m
在面粉袋由A端運動到B端的時間內，傳送帶運轉的距離s_帶=△s+l_AB=26.0 m
又由（2）已知t′=2.0 s
故而有：2πn′R≥
則：n′≥390 r/min（或6.5 r/s）．
答：（1）這袋面粉由A端運送到Q₁正上方的B端所用的時間為2.5s．
（2）轉速的最小值n=240 r/min．
（3）這袋面粉在傳送帶上留下的痕跡最長能有18.0m，此時主動輪的轉速n′≥390 r/min．
分析：（1）面粉在傳送帶上先做勻加速直線運動，當速度達到傳送帶速度一起做勻速直線運動，結合牛頓第二定律和運動學公式求出面粉由A端運送到Q₁正上方的B端所用的時間．
（2）要想時間最短，面粉袋應一直向B端做加速運動，根據運動學公式求出傳送帶的最小速度，從而根據v=ωR=2πnR求出主動輪Q₁的轉速的最小值．
（3）傳送帶的速度越大，“痕跡”越長．當面粉的痕跡布滿整條傳送帶時，痕跡達到最長．痕跡的長度等于相對路程的大小，通過面粉袋的位移求出傳送帶的位移，通過時間求出主動輪的最小速度，從而求出轉速的最小值．
點評：解決本題的關鍵理清面粉袋的運動情況，結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解．