Question

（2012?濟寧模擬）如圖所示，固定的四分之一豎直圓弧軌道AB的半徑R=0.6m，其最低點與長l=2.0m、高h=0.2m、質量M=5.0kg的長木板的水平上表面相切于B點．質量m=1.0kg的小滑塊（可視為質點）從圓弧頂點A處由靜止釋放，當它運動到圓弧最低點時受軌道的支持力為25N．已知滑塊與長木板間的動摩擦因數μ₁=0.2，長木板與水平地面間的動摩擦因數μ₂=0.1．（不計空氣阻力，g取10m/s²）
（1）求滑塊由A運動到B的過程中，摩擦力對它做的功；
（2）試通過計算判斷滑塊能否離開長木板．若能，求滑塊在長木板上運動的時間及滑塊從C點離開木板到落地的過程中通過的位移大小；若不能，寫出判斷過程．（結果保留兩位有效數字）

Answer 1

分析：（1）滑塊在B點時，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出滑塊經過B點時的速度，根據動能定理研究滑塊由A運動到B的過程，得到摩擦力對它做的功；
（2）滑塊在長木板上運動時，長木板受到滑塊對它的摩擦力為F_f1=μ₁mg=2N，長木板受到地面對它的摩擦力為F_f2=μ₂（M+m）g=6N，F_f1＜F_f2，則知長木板不動．由牛頓第二定律和運動學公式結合求出滑塊速度減小到零時通過的距離x，與板長l比較，可判斷滑塊能否離開長木板．如能離開木板，滑塊離開長木板后做平拋運動，由高度h求出時間，由x=v₀t求出水平位移大小，滑塊離開C點到落地的過程中通過的位移大小為L=

h2+x2

．

解答：解：（1）滑塊在B點時，由牛頓第二定律得  F_N-mg=m

v 2 B

R

 得  v_B=3m/s
滑塊由A運動到B的過程中，由動能定理得   mgR+W_f=

1

2

m

v

2 B

聯立以上兩式可得    W_f=-1.5J
（2）長木板受到滑塊對它的摩擦力為F_f1=μ₁mg=2N，長木板受到地面對它的摩擦力為F_f2=μ₂（M+m）g=6N，因F_f1＜F_f2，故長木板不動．
滑塊在長木板上運動時的加速度大小為a=

μ1mg

m

=μ₁g=2m/s²
滑塊速度減小到零時通過的距離，x₁=

v 2 B

2a

=2.25m＞l=2.0m：故滑塊能離開長木板
設滑塊在長木板上運動的時間為t₁，則l=v_Bt₁-

1

2

a

t

2 1

，
代入數據解得t₁=1.0 s（t₁=2.0s，由于v=v_B-at₁=3-2×2=-3m/s，滑塊向左運動，不可能．故t₁=2.0s舍去）
滑塊運動到C點時的速度為：v_C=v_B-at₁=1.0m/s
滑塊離開長木板后做平拋運動，設其運動的時間為t₂，則：
   h=

1

2

g

t

2 2

，
   x₂=v_Ct₂
聯立解得x₂=0.2m
滑塊離開C點到落地的過程中通過的位移大小為L=

h2+ x 2 2

=0.28m
答：
（1）滑塊由A運動到B的過程中，摩擦力對它做的功為-1.5J；
（2）滑塊能離開長木板，滑塊離開C點到落地的過程中通過的位移大小為0.28m．

點評：第1問中摩擦力是變力，運用動能定理求解摩擦力做功．第2問，要根據木板所受的滑動摩擦力與地面對木板的最大靜摩擦力比較，判斷木板運動的狀態．根據牛頓第二定律和運動學公式結合求滑塊速度減小到零時通過的距離．