Question

“神舟六號”載人飛船于2005年10月12日上午9點整在酒泉航天發射場發射升空．由長征運載火箭將飛船送入近地點為A、遠地點為B的橢圓軌道上，A點距地面的高度為h₁，飛船飛行五圈后進行變軌，進入預定圓軌道，如圖所示．在預定圓軌道上飛行N圈所用時間為t，于10月17日凌晨在內蒙古草原成功返回．已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R．求：
（1）飛船在A點的加速度大小．
（2）遠地點B距地面的高度．
（3）沿著橢圓軌道從A到B的時間．

Answer 1

分析：（1）根據萬有引力公式以及黃金代換式GM=gR²，求出飛船在A點所受的合力，從而求出加速度．
（2）根據萬有引力提供向心力，G

Mm

r2

=mr(

2π

T

)2，已知周期，求出軌道半徑，從而求出高度．
（3）根據開普勒第三定律

R3

T2

=C，求出橢圓軌道的周期．

解答：解：（1）飛船在A點所受的萬有引力F=G

Mm

(R+h1)2

．
        由黃金代換式GM=gR²，得F=

gR2m

(R+h1)2

，
根據牛頓第二定律a=

F

m

=

gR2

(R+h1)2

．
故飛船在A點的加速度為

gR2

(R+h1)2

．
（2）G

Mm

r2

=mr(

2π

T

)2，T=

t

N

所以r=

3	GMt2 4π2N2

由黃金代換式GM=gR²，r=

3	gR2t2 4π2N2

，所以h=

3	gR2t2 4π2N2

-R
故遠地點B距地面的高度為

3	gR2t2 4π2N2

-R．
（3）橢圓軌道的半長軸R′=

r+R+h1

2

=

3 gR2t2 4π2N2 +R+h1

2

根據開普勒第三定律

R′3

T′2

=

r3

T2

T′=

R′3T2 r3

=2π

( 3 gR2t2 4π2N2 +R+h1)3 8gR2

所以沿著橢圓軌道從A到B的時間t′=

T′

2

=π

( 3 gR2t2 4π2N2 +R+h1)3 8gR2

點評：解決本題的關鍵掌握黃金代換式GM=gR²，萬有引力提供向心力，G

Mm

r2

=mr(

2π

T

)2，以及開普勒第三定律

R3

T2

=C．