Question

經(jīng)過(guò)天文望遠(yuǎn)鏡長(zhǎng)期觀測(cè)，人們?cè)谟钪嬷幸呀?jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)它們的研究，使我們對(duì)宇宙中物質(zhì)的存在形式和分布情況有了較深刻的認(rèn)識(shí)，雙星系統(tǒng)由兩個(gè)星體組成，其中每個(gè)星體的大小都遠(yuǎn)小于兩星體之間的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)作孤立系統(tǒng)來(lái)處理（即其它星體對(duì)雙星的作用可忽略不計(jì)）．現(xiàn)根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測(cè)量確定：該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是m，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線上的某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
（1）試計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T₁．
（2）若實(shí)際中觀測(cè)到的運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)₂，T₂與T₁并不是相同的，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種觀測(cè)不到的暗物質(zhì)，它均勻地充滿整個(gè)宇宙，因此對(duì)雙星運(yùn)動(dòng)的周期有一定的影響．為了簡(jiǎn)化模型，我們假定在如圖14所示的球體內(nèi)（直徑看作L）均勻分布的這種暗物質(zhì)才對(duì)雙星有引力的作用，不考慮其他暗物質(zhì)對(duì)雙星的影響，已知這種暗物質(zhì)的密度為ρ，求T₁：T₂．

Answer 1

分析：（1）雙星繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，由相互之間萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解運(yùn)動(dòng)周期．
（2）假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著暗物質(zhì)，由暗物質(zhì)對(duì)雙星的作用與雙星之間的萬(wàn)有引力的合力提供雙星的向心力，由此可以得到雙星運(yùn)行的角速度，進(jìn)而得到周期T₂，聯(lián)合第一問(wèn)的結(jié)果可得周期之比．

解答：解：（1）兩星的角速度相同，故  F=mr1

ω

2 1

；F=mr2

ω

2 1

而  F=G

m?m

L2

可得 r₁=r₂①
兩星繞連線的中點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，則  

Gm2

L2

=m?

L

2

?

ω

2 1

解得  ω1=

2Gm L3

②
所以   T1=

2π

ω1

=

2π

2Gm L3

=2π

L3 2Gm

③
（2）由于暗物質(zhì)的存在，雙星的向心力由兩個(gè)力的合力提供，則G

m2

L2

+G

mM

( 1 2 L)2

=m?

1

2

L?

ω

2

④
M為暗物質(zhì)質(zhì)量，M=ρV=ρ?

4

3

π(

L

2

)3⑤
解④和⑤式得：ω=

2Gm L3 + 4 3 Gρπ

                 ⑥
可求得：T2=

2π

ω

=

2π

2Gm L3 + 4 3 Gρπ

⑦
聯(lián)立③、⑦式解得

T1

T2

=

2π L3 2Gm

2π 2Gm L3 + 4 3 Gρπ

=

6m+4ρπL3 3M

答：
（1）該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T₁．
（2）周期之比為T(mén)₁：T₂=

6m+4ρπL3 3M

點(diǎn)評(píng)：本題是雙星問(wèn)題，要抓住雙星系統(tǒng)的條件：角速度與周期相同，再由萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力進(jìn)行列式計(jì)算即可．